Bonsoir robby3

C'est quoi E ? un groupe fini ?

Kaiser

pardon E c'est un corps.
J'ai trouver ces résultats ici.

Pour la 1), il suffit simplement de dire que si P est une matrice inversible et si A est une matrice de Sln(E), alors est aussi de déterminant 1.

Pour la 2), c'est une propriété du déterminant : det(AB)=det(A)det(B) pour toutes matrices A et B.

Pour la 3), par définition, c'est quoi le noyau ?
Pour la 4), ce n'est en général pas un ensemble fini.

Kaiser

1)Le determinant est un morphisme de groupe son noyau est distingué!

2)det (AB)=det(A)det(B)

3) A apprtient à SL_n ssi son determinant vaut 1

4)Ca me semble faut dans R...

Bonsoir à tout les deux et merci bien de la rapidité et de l'éfficacité de vos réponses.
Kaiser > justement j'ai du mal a définir le noyau dans ce cas la, est ce que c'est l'ensemble des matrices inversibles dont le détermiant vaut e_E ?

Rodrigo > pour la 4...ça signifie que sur wikipedia le truc est faux? (cf lien)

Merci encore de votre aide

pour le noyau c'est effectivement ça : c'est l'ensemble des éléments qui s'envoient sur le 1 du corps (élément neutre pour la maultiplication).

Kaiser

Pour la 4, il est question de dimension et non de cardinal.

Kaiser

Ben oui c'est faux sur R... et donc sur wikipedia (notez la figure de style )

jolie jolie...
Alors Kaiser as tu une idée pour le 4) comment montrer que dim=n²-1?? (si c'est avec l'algebre de Lie,j'ai pas vu donc...) merci encore.

Pour ma part, l'expression "algèbre de Lie", j'en ai entendu parlé mais sans plus. La dimension dont ils parlent est peut-être la dimension en tant que variété. Tu sais ce qu'est une variété ?

Kaiser

une variété?!! non pas du tout

bon ben dans ce cas, laisse tomber cette histoire de dimension !

Kaiser

Ok Kaiser pas de souci, merci beaucoup pour la rapidité des réponses.
je peux ajouter des questions?

oui bien sûr !

Kaiser

Juste une remarque pour un corps, il vaut mieux à mon sens noter 0 et 1, pour les neutres additifs et multiplicatif...

ok d'accord pas de probleme.
Alors toujours sur wikipedia,oila quelques questions que j'ai:

1.l'ensemble des matrices diagonales de det différent de 0 forme un sous-groupe de GL(n,E) isomorphe à (E*)^n.Pourquoi? quel est cet isomorphisme?

2.L'ensemble des matrices scalaires non nulles est un sous-groupe de GL(n,E)??Abélien??
Merci d'avance de vos réponses.

Pour la 1), il suffit de considérer l'application qui à un n-uplet de complexes non nuls associe la matrice diagonale dont les élément diagonaux sont les rangés dans cet ordre.

Pour la 2), quel est exactement le problème ? Le fait que c'est un sous-groupe ?

Kaiser

pour la 1) c'est ok.
Pour la 2): je viens d'écrire et c'est bon!!

Merci encore pour ta réponse.

Le fait que ce soit un sous groupe est du au fait que l'inverse d'une matice diagonale est diagonale et que le produit de deu mat diag est diag. L' isomorphisme est celui qui a une matrice diagonale associe le vecteur dont les coordonnées sont les coeff diagonnaux de la matrice.

2) Pareil, il est icomorphe à E, donc abélien oui, c'est en fait le centre de GL_n(E) (exercice!)

J'ai toujours un temps de retard décidément!

Merci aussi à toi Rodrigo pour tes réponses!!
pour la 2) j'ai pas vu ce que c'était le centre d'un groupe...

Ben si tu l'as vu dans ton autre exo, c'est ce que tu notais Z (comme tout le monde ) 'est l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les élements de ton groupe

ah bon c'est ça le centre lol?!
bah alors c'est pas trés difficiles...il faut que je montre A.(lambda Id)=(lambda Id).A ou A est dans Gln.

Oui enfin là tu prouves que les matrices scalaires sont dans le centre ce qui est clair, mais je prétends qu'il n'y a pas d'autres matrices dans le centre (dans R ou C du moins)

ahh oui ?! Je veux bien une preuve

D'abord tu cherches le centre de M_n(C), en remarquant si P est dans le centre alors P commute avec les élements de la base canonique de Mn(C), ca prouve que le centre de Mn(C) c'est les matrices scalaires uniquement.
Ensuite si P est dans le cenrte de GLn alors par densité de GLn elle estd ans le centre de Mn(C), considérer par exemple M->MP-PM, nulle sur une partie dense et continue donc nulle partout.