Bonjour à tous et à toutes,
J'aurai besoin d'aide afin de comprendre et réussir au mieux un exercice. Voici l'énoncé et mes recherches pour chacune des questions:
f est la fonction définie sur ]0; +∞[ par:
f(x)=ln((x+1)/x)-(1/(x+1))
a. Vérifier le résultat obtenu dans l'écran de calcul formel ci-contre.
ce qu'affiche l'écran: Dérivée (ln((x+1)/x)-(1/(x+1)))
Factoriser: -(1/(x(x+1)²)
Pour répondre à cette question j'ai donc dérivée f(x)=ln((x+1)/x)-(1/(x+1))
. je vois que ln((x+1)/x) prend la forme de v(u(x)) et je sais que la dérivée de cette forme est u'(x)*v'(u(x)) avec ici u(x)=(x+1)/1 et v(u(x))=ln((x+1)/x)
u'(x)=-(1/x²)et v'(u(x))=1/((x+1)/x)
             (1/((x+1)/x))*(-1/x²)
         =-1/((x²(x+1))/x)
         =-1/((x(x+1))
. Je vois que 1/(x+1) prend la forme u/v avec u=1 et v=x+1
on sait que la dérivée prend donc la forme (u'v-uv')/v² avec ici u'=0 et v'=1
on a donc (0*x-1*1)/((x+1)²)=-1/((x+1)²)
. Donc f'(x)=-1/((x(x+1))-1/((x+1)²)
= -1(x+1)/((x(x+1)(x+1))-1x/(x((x+1)²)
=- ((x+1)/(x((x+1)²))-1x/(x((x+1)²)
=-(x+1-1x)/(x((x+1)²)
=-1/(x((x+1)²)
On a donc pu vérifier le résultat obtenu par l'écran de calcul formel.
b. En déduire le sens de variation de f sur ]0;+[
On remarque le signe de f'(x) est négatif. Or on sait que si la dérivée d'une fonction est négative alors cette fonction f est décroissant sur I. On en déduit donc que f est décroissante sur ]0;+[
c. Etudier la limite de la fonction f en 0, puis en +
C'est a partir de cette question que je ne suis pas du tout sur
lorsque x tend vers 0:
lim ln((x+1)/x)= +
lim (1/(x+1))=1
(+-1=+)
donc lim f(x)=+
lorsque que x tend vers +:
lim (1/(x+1))=0
lim ln((x+1)/x)=FI
en effet lim ln(x)=+
mais lim (x+1)/x= FI (+/+=FI)
J'ai donc essayé de factoriser (x+1)/x par son terme le plus important :
(x(x+(1/x)))/x =1+(1/x)
lim 1+(1/x)= +
lim ln(1+(1/x))=+
lim f(x)=+
d. dresser le tableau de variation de la fonction f.
Je n'ai donc pas encore répondu à cette question n'étant pas sur de la question précédente.
Pourriez-vous m'aider à comprendre afin que je puisse finaliser mon exercice. En vous remerciant d'avance pour votre aide et pour le temps que vous m'accorderez. En vous souhaitant une agréable journée.