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Compléments sur la fonction ln

Posté par
justbinet
28-12-22 à 15:16

Bonjour à tous et à toutes,
J'aurai besoin d'aide afin de comprendre et réussir au mieux un exercice. Voici l'énoncé et mes recherches pour chacune des questions:
f est la fonction définie sur ]0; +∞[ par:
f(x)=ln((x+1)/x)-(1/(x+1))
a. Vérifier le résultat obtenu dans l'écran de calcul formel ci-contre.
ce qu'affiche l'écran: Dérivée (ln((x+1)/x)-(1/(x+1)))
Factoriser: -(1/(x(x+1)2)

Pour répondre à cette question j'ai donc dérivée f(x)=ln((x+1)/x)-(1/(x+1))
. je vois que ln((x+1)/x) prend la forme de v(u(x)) et je sais que la dérivée de cette forme est u'(x)*v'(u(x)) avec ici u(x)=(x+1)/1 et v(u(x))=ln((x+1)/x)
u'(x)=-(1/x2)et v'(u(x))=1/((x+1)/x)
             (1/((x+1)/x))*(-1/x2)
         =-1/((x2(x+1))/x)
         =-1/((x(x+1))
. Je vois que 1/(x+1) prend la forme u/v avec u=1 et v=x+1
on sait que la dérivée prend donc la forme (u'v-uv')/v2 avec ici u'=0 et v'=1
on a donc (0*x-1*1)/((x+1)2)=-1/((x+1)2)
. Donc f'(x)=-1/((x(x+1))-1/((x+1)2)
= -1(x+1)/((x(x+1)(x+1))-1x/(x((x+1)2)
=- ((x+1)/(x((x+1)2))-1x/(x((x+1)2)
=-(x+1-1x)/(x((x+1)2)
=-1/(x((x+1)2)
On a donc pu vérifier le résultat obtenu par l'écran de calcul formel.

b. En déduire le sens de variation de f sur ]0;+[
On remarque le signe de f'(x) est négatif. Or on sait que si la dérivée d'une fonction est négative alors cette fonction f est décroissant sur I. On en déduit donc que f est décroissante sur ]0;+[
c. Etudier la limite de la fonction f en 0, puis en +
C'est a partir de cette question que je ne suis pas du tout sur
lorsque x tend vers 0:
lim ln((x+1)/x)= +
lim (1/(x+1))=1
(+-1=+)
donc lim f(x)=+
lorsque que x tend vers +:
lim (1/(x+1))=0
lim ln((x+1)/x)=FI
en effet lim ln(x)=+
mais lim (x+1)/x= FI (+/+=FI)
J'ai donc essayé de factoriser (x+1)/x par son terme le plus important :
(x(x+(1/x)))/x =1+(1/x)
lim 1+(1/x)= +
lim ln(1+(1/x))=+
lim f(x)=+

d. dresser le tableau de variation de la fonction f.
Je n'ai donc pas encore répondu à cette question n'étant pas sur de la question précédente.
Pourriez-vous m'aider à comprendre afin que je puisse finaliser mon exercice. En vous remerciant d'avance pour votre aide et pour le temps que vous m'accorderez. En vous souhaitant une agréable journée.

Posté par
Vantin
re : Compléments sur la fonction ln 28-12-22 à 15:35

Je pense que tu t'es un peu mélangé les pinceaux.
1+ (1/x) ne tend pas vers l'infini quand x tend vers l'infini !

 \ln(\frac{x+1}{x})=\ln(\frac{x(1+\frac{1}{x})}{x})=\ln(1+\frac{1}{x})  \xrightarrow[x\to +\infty]{} ln(1)=0

Posté par
justbinet
re : Compléments sur la fonction ln 28-12-22 à 18:46

En effet autant pour moi je vais rectifier mon exercice de ce pas.
lorsque x tend vers +
lim (1/(x+1))=0
lim ln(1+(1/x))=ln(1)=0
donc lim f(x) =0

Je peux donc dire grâce a ces limites que f(x) est décroissante sur l'intervalle ]0;+[ est donc dresser le tableau de signe pour la question d ?

Posté par
Vantin
re : Compléments sur la fonction ln 28-12-22 à 19:16

Oui tout à fait, tu peux dresser ton tableau de variation, tu as tout les éléments pour !

Posté par
justbinet
re : Compléments sur la fonction ln 29-12-22 à 15:45

très merci beaucoup pour votre aide.



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