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Complexe !

Posté par
fifou12 16-11-08 à 14:06

Voici l'énoncé d'un sujet : J'aurais juste besoin d'un petit indice, par avance merci !

S1 = \sum_{k=0}^4 cos(2kpi/9) , S2 = \sum_{k=0}^4 sin(2kpi/9)

Déterminer S1 + iS2

Je trouve ainsi \sum_{k=0}^4 e^(i2kpi/9)

Déduire S1
Et là j'ai un problème ... J'ai développé la somme que je trouve ... Il me faudrait séparer partie réelle et parti imaginaire pour identifier avec S1 + iS2 et en déduire S1 mais je ne vois pas comment .. ??

Posté par
perroquetre : Complexe ! 16-11-08 à 14:32

(re)Bonjour, fifou12

Si tu mènes bien ton calcul, tu dois obtenir que la partie réelle de (S1+iS2) est égale à 1/2.

Posté par
fifou12re : Complexe ! 16-11-08 à 14:35

j'ai justement besoin d'un indice pour mener ce calculer ?? pourriez vous m'indiquer comment je dois partir ?

Posté par
fifou12re : Complexe ! 16-11-08 à 15:52

j'arrive à S1 = 1 + cos 2pi/9 + cos 4pi/9 + cos 2pi/3 + cos 8pi/9

suis-je sur la bonne piste ? ( en tout cas je n'arrive plus à avancer .. )

Posté par
fifou12re : Complexe ! 16-11-08 à 17:24

!

Posté par
perroquetre : Complexe ! 16-11-08 à 18:23

3$ S_1+iS_2= \sum_{k=0}^4 \omega^k      avec   \omega=\exp\left(\frac{2i\pi}{9}\right)

Donc:    3$ S_1+iS_2=\frac{1-\omega^5}{1-\omega}

Or:  3$\omega^5 =\exp\left(\frac{10i\pi}{9}\right) = -\exp\left(\frac{i\pi}{9}\right)

Notons   3$ \alpha= \exp\left(\frac{i\pi}{9}\right)

On a donc    3$ S_1+iS_2=\frac{1-\alpha}{1-\alpha^2}=\frac{1}{1+\alpha}

Or:     3$ \frac{1}{1+e^{i\theta}}=\frac{1}{2\cos\frac{\theta}{2} e^{i\theta/2}}= \frac{e^{-i\theta/2}}{2\cos\frac{\theta}{2}}     de partie réelle   1/2

La partie réelle de   S1+iS2    est donc   1/2

Posté par
fifou12re : Complexe ! 17-11-08 à 17:45

comment tu trouve ce 1+eiteta = 2cos pi/2....... ??

Posté par
JedeviendraiGMIcomplexe de fifou 17-11-08 à 22:27

montrons que 1+e(iteta)=2cos(pi/2)...
en effet 1+e(iteta)=e(iteta/2)(e(iteta/2)+e(-iteta/2))
                    
         or (formule d euler) cos a = (e(ia) +e(-ia))/2

            d où (e(iteta/2)+e(-iteta/2))=cos(iteta/2)*2



la suite est triviale
voila    


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