Salut !

c'est effectivement impossible.

ce que cherchais Hamilton c'st un produit associatif et distributif sur + sur R^n (pour n=3 ou 4) telle que |a|=|a||b|

un telle produit n'existe pas de R^3.

ne ne sais pas exactement ce que cela donne sans la conservation de la norme mais je peut t'assurer qu'il n'existe aucun produit interessant que R^3 (a part le produit vectorielle... mais comme loi de composition c'est un peu pauvre...)

Et si on abandonne les normes ?
Et aussi l'associativité ?
Et pourquoi pas la commutativité.
(prêt à tous les sacrifices :p enfin, gardons la distributivité quand même au moins.)
Toujours rien ? rien de bien ? ou est-ce quand même impossible ?

ba dans ce cas tu as le produit vectorielle de R^3.

On peut quand même trouver autre chose, non ?

Par exemple :
(a,b,c)*(x,y,z)=(ax+cy+bz , bx+ay+cz , cx+by+az)
Me semble commutatif, associatif, distributif par rapport à +, de neutre (1,1,1) et d'absorbant(0,0,0).
(j'ai vite fait les calculs, mais je peux me tromper :p)

En effet c'est une des multiplications intéressante qu'on peut mettre sur R^3...
qu'elle détaille :

c'est effecitvement comutatif ditributif et associatif

on a une "norme" interessante qui apparait : N(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz

alors N(ab)=N(a)N(b)
un element est inversible si et seulement si N(a) est non nul.

pour les autres elements, l'inverse a=(x,y,z) est (x^2-yz,y^2-xz,z^2-xy)/N(a)

enfait cette anneau est exactement l'anneau R[X]/(x^3-1)

n'importe qu'elle polynome de degré 3 P te donnera une structure du meme genre en prenant R[x]/P, sachant que globalement il n'y a que (au plus) 4 classes d'isomorphisme (ca veut dire qu'on a en gros 4 anneau de base et que chacune des loi de ce type que tu peut trouver donne une structure isomorphe à l'une des 4 structures de base). apres je sais pas trop qu'elles sont les hypothese neccessaire sur la loi pour etre sur qu'on ai un anneau de cette forme

oki doki. Intéressant tout ça.
(petite erreur quand même dans mon cas, le neutre est (1,0,0) pas (1,1,1) :p)