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Niveau maths sup
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complexe... ms faisable, surement !

Posté par JessikaB (invité) 18-11-04 à 19:38

il s'agit de resoudre geometriquement puis algebriquement les equations et inequations suivantes:

a: |3z-2i+1| = 3  avec || valeur absolue
b: 2 |i-z| < 3
c: |z-2| = |z-1-i|

en fait, je ne vois pas tres bien comment resoudre algebriquement!

voila comment j ai resolu le a; mais je ne suis pas bien sure de la methode!

a: |3z-2i+1| = 3
soit z = a+ib
d ou |3(a+ib) - 2i + 1| = 3
|3a + 3ib - 2i + 1| = 3
|3a + 1 + i(3b-2)| = 3

or |3a + 1 + i(3b-2)|^2 = (3a+1)^2 + (3b-2)^2
d ou (3a+1)^2 + (3b-2)^2 = 9
9a^2 + 6a +1 + 9a^2 - 12b +4 = 9
(a-(-1/3))^2 + (b-(2/3))^2 = 1

on a donc un rayon = 1
et les coordonnées suivantes: (-1/3; -2/3)

Est ce que qq un trouve la meme chose que moi?
Comment resout on algebriquement?

je suis en train de faire le b, exactement de la meme facon,
en revanche qq un a t il une idée pour le c?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : complexe... ms faisable, surement ! 18-11-04 à 20:07

Le premier:

(a + (1/3))^2 + (b-(2/3))^2 = 1
C'est l'équation dun cercle de centre de coordonnées (-1/3 ; 2/3) et de rayon 1.

Remarque, plutot que z = a+ib, on dit plus souvent z = x + iy.
Cela permet alors de donner l'équation (x + (1/3))^2 + (y-(2/3))^2 = 1, forme avec laquelle on est plus habitué.
-----
c)
|z-2| = |z-1-i|
|a+ib-2| = |a+ib-1-i|
|a-2+ib| = |a-1+i(b-1)|

(a-2)²+b² = (a-1)²+(b-1)²
a²-4a+4+b² = a²-2a+1+b²-2b+1
-4a+4 = -2a+1-2b+1
2a - 2b - 2 = 0
a - b - 1 = 0
b = a - 1

Remarque, plutot que z = a+ib, on dit plus souvent z = x + iy.
Cela permet alors de donner l'équation y = x - 1, forme avec laquelle on est plus habitué.

C'est l'équation d'une droite.
-----
Remarque, on peut faire une vérification (au moins partielle) de la solution trouvée.
exemple: un point quelconque de la droite d'équation y = x - 1  (par exemple le poiint de coordonnées (3;2)
soit le point d'affixe 3 + 2i
On vérifie si celui-ci colle avec l'énoncé:

|z-2| =? |z-1-i|
|3+2i-2| =? |3+2i-1-i|
|1+2i| =? |2+i|
V(1+4) =? V(4+1)
V5 =? V5  -> OK
-----
Sauf distraction.  



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