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complexes

Posté par basso (invité) 04-08-05 à 14:06

bonjour tout le monde
j'ai un petit exo, et je n'arrive pas du tout à le traiter. merci de m'aider

soit t un réel de l'intervalle I=]-,[. On considère l'équation donnée par

(E) : z²-2(cost+isint)z-2(sint-icost)sint=0    d'inconnue z dans C

On note z1et z2 les racines de (E) et M1 et M2 les points d'affixes z1 et z2.

1/ quel est l'ensemble décrit par le milieu de [M1M2] quand t décrit I.

2/ Calculer z1 et z2 en fonction de t.
3/Déterminer le module et un argument de z1 et z2.

Alors voilà pour la première question, j'ai pensé à poser :


(cost+isint)=eit et sint-icost=ei(t-/2)

mais ça ne m'avance pas à grand chose parce que je n'arrive pas à exprimer \frac{z_1+z_2}{2} en fonction de t.

merci de m'aider

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes 04-08-05 à 14:20

Indice pour 1/ :
La somme des racines de l'équation du 2nd degré ax2+bx+c=0 est...

Posté par biondo (invité)re : complexes 04-08-05 à 14:22

Salut basso!

Un indice qui vaut ce qu'il vaut:

Comment peut-on écrire formellement l'équation (E) sachant que z1 et z2 sont racines du polynôme en z? (sans se préoccuper des valeurs de z1 et z2, à ce stade...)

Développer l'expression formelle, identifier...

Pas super clair tout ca, mais sinon je te le fais, l'exo, alors...

On peut aussi penser aux relations entre les racines d'un polynome et ses coefficients (ce qui revient au même)..

COurage!

Biondo

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : complexes 04-08-05 à 15:43

Bonjour Basso;
ton équation s'écrit aussi:
(E):z^2-2ze^{it}-(1-e^{2it})=0(vérification facile)
son discriminant réduit est \Delta'=1 elle admet donc deux racines distinctes z_1 et z_2
1°)on a alors \frac{z_1+z_2}{2}=e^{it} ce qui veut dire que quand t décrit ]-\pi,\pi[,le milieu du segment [M_1M_2] décrit le cercle unité privé du point (-1,0).
2°)\{{z_1=e^{it}-1\\z_2=e^{it}+1
3°)tu peux remarquer que:
z_2=e^{\frac{it}{2}}e^{\frac{it}{2}}+ e^{\frac{it}{2}}e^{\frac{-it}{2}}=e^{\frac{it}{2}}(e^{\frac{it}{2}}+e^{\frac{-it}{2}})=2cos(\frac{t}{2})e^{\frac{it}{2}} et vu que \frac{t}{2}\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ tu as que:
\{{|z_2|=2cos(\frac{t}{2})>0\\arg(z_2)=\frac{t}{2}
je te laisse le z_1


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