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Complexes
Bonsoir à tous! Voilà, je suis confrontée à deux exercices particulièrement complexes ... sur les complexes! Je suis totalement bloquée 
Pour le premier exercice, on me donne a 
]-
/2,/2[.
On a (E) (1 + iz)3(1 - itan(a)) = (1 - iz)3(1 + itan(a)).
Je dois démontrer que si z est solution de (E), alors le module de (1 + iz) est égal au module de (1 - iz). Je tourne en rond 
La forme exponentielle de [1 + itan(a)]/[1 - itan(a)], est-ce que c'est bien -e-2ia ?
En traçant la courbe de t 
tan(t) sur ]-/2,/2[, on est censé prouver que z solution de (E) peut s'écrire sous la forme z = tan(t) 
Enfin, en l'admettant, le changement de variable qu'on doit faire dans (E) pour la résoudre, c'est bien z = tan(a) ?
Pour le deuxième exercice, on me donne le polynôme P(X) = 1 + X2 + X4 + ... + X12 = 
X2k pour k allant de 0 à 6.
Est-ce que vous auriez une méthode pour calculer les racines complexes de P ?
Je sais, c'est un peu long... Vous n'auriez pas quelques pistes pour me débloquer ?
Merci beaucoup pour votre aide 
tu appliques les règles sur les modules :
| 1 + i z | 3 | 1 - i tan a | = | 1 - i z | 3 | 1 + i tan a |
or 1 + i tan a et 1 - i tan a ont le même module non nul donc | 1 + i z | 3 = | 1 - i z | 3
ces nombres étant des réels | 1 + i z | = | 1 - i z |
i n'est pas solution de l'équation donc 1 + i z 
0
est donc un complexe de module 1 donc il existe un réel x de ] -
; ] tel que : 1 + i z = (cos x + i sin x) (1 - i z)
donc i z (1 + e i x) = e i x - 1
Bonsoir Cherchell !
Merci beaucoup pour ta réponse !
Désolée de répondre aussi tard, j'ai été un peu débordée ces derniers jours 
Donc pour le deuxième, si j'ai bien compris, il faut résoudre [1-X14]/[1-X2] = 0, c'est ça ?
Oui donc tu vas trouver 14 solutions auxquelles il faudra enlever 1 et -1. Il faut procéder en utilisant la forme trigonométrique.
Bonjour Cherchell !
Merci de m'avoir répondu !
J'aurais une autre question sur le premier exercice. On me demandais de trouver la forme exponentielle de (1 + itan(a))/(1 - tan(a)). Soit dit en passant, je me suis trompée : c'est e2ia.
En suivant la méthode que tu m'as expliquée précédemment, comme -i n'est pas solution :
le module de (1 + iz)/(1 - iz) est égal au module de (1 + itan(a))/(1 - itan(a)). Mais à partir de là, je bloque. Je n'ai pas réussi à comprendre totalement ce que tu m'as montré...
Comment dois-je faire pour trouver le changement de variable que tu m'as indiqué ?
Il s'agit simplement de dire que si un complexe est de module 1 alors il est de la forme e i x ou encore de la forme cos x + i sin x ensuite tu fais un produit en croix
J'ai compris ! Merci beaucoup
Du coup pour la résolution de (E), je trouve:
(1 + itan(x/2))3(1 - itan(a)) = (1 - itan(x/2))3(1 + itan(a))
[(1 + itan(x/2))/(1 - itan(x/2))]3 = (1 + itan(a))/(1 - itan(a))
ei(3
2(x/2)) = ei2a
3x = 2a [2]
x = 2a/3 [2/3]
Il ne reste plus qu'à détailler l'ensemble des solutions... Mais sinon, est-ce que c'est bon ?
J'ai encore une dernière question sur le deuxième exercice 
Les questions intermédiaires m'ont permis de prouver que P(X) est égal au produit des (X - eik/7) pour k allant de 1 à 13 sauf 7.
J'ai dû développer (X - eik/7)(X - e-ik/7), ce qui donne X² - 2cos(k/7)X + 1.
On me demande de prouver que P(X) est égal au produit des (X² - 2cos(k/7)X + 1) pour k allant de 1 à 6. Je suis un peu bloquée...
Et puis, pour calculer P(i), on utilise la formule de P que j'ai donnée dans le premier message, mais est-ce qu'il y a une deuxième méthode ? Parce qu'on m'en demande 2...
Quelqu'un a une idée ?
Merci beaucoup pour votre aide
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