Niveau Maths sup

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Posté par dark_supar (invité) 12-10-05 à 18:34

bonjour à tout le monde , je bute sur 2 questions de mon Dm de maths.

On suppose n impair donc on pose n=2p+1 ( p)
On considere l equation :
     1       3             5
(E) C   x^p-C   x^(p-1)+C   x^(p-2)-...
     2p+1  2p+1         2p+1

           2p+1
+(-1)^p C    =0
           2p+1

a)montrer qu elle admet pour solutions les p reels : x_k= (cotan((k)/n))² où n =2p+1 et k{1,2,..,p}.

b) Calculer en fonction de n la somme des solution de (E).

Un merci d avance a ceux qui pourront m'aider..

Posté par re:Complexes 13-10-05 à 00:09

Bonsoir dark_supar;
a)
Remarquons que notre équation s'écrit aussi:
$3$\fbox{\{{(E){:}\hspace{5}\Bigsum_{k=0}^{p}C_{2k+1}^{2p+1}(-1)^{k}x^{p-k}=0\\x\in\mathbb{C}}$ et considérons l'équation $3$\fbox{\{{(F){:}\hspace{5}(\frac{sqrt{x}+i}{sqrt{x}-i})^{2p+1}=1\\x\in{\mathbb{R}}^+}$
(*)Résolution de (F):
En remarquant que l'application $2$\fbox{]0,\frac{\pi}{2}]\to{\mathbb{R}}^+\\x\to cotan^2(x)}$ est une bijection on a en posant $\fbox{x=cotan^2(\alpha)\\\alpha\in]0,\frac{\pi}{2}]}$ que:
$3$\fbox{(F)\Longleftrightarrow(\frac{cos(\alpha)+isin(\alpha)}{cos(\alpha)-isin(\alpha)})^{2p+1}=1\Longleftrightarrow(e^{2i\alpha})^{2p+1}=1\Longleftrightarrow\alpha\in\{\frac{k\pi}{2p+1}/k\in\{1,..,p\}\}}$
L'équation $(F)$ admet donc $p$ solutions distinctes que sont les $3$\blue\fbox{x_k=cotan^2(\frac{k\pi}{2p+1})\\k=1,..,p}$
(*)Equivalence de $(E)$ et $(F)$ :
$3$\fbox{(F)\Longleftrightarrow(sqrt{x}+i)^{2p+1}=(sqrt{x}-i)^{2p+1}\Longleftrightarrow\Bigsum_{l=0}^{2p+1}C_{2p+1}^{l}i^{l}(sqrt{x})^{2p+1-l}=\Bigsum_{l=0}^{2p+1}C_{2p+1}^{l}(-i)^{l}(sqrt{x})^{2p+1-l}}$
En remarquant que les termes d'indices pairs se simplifient et en regroupant les termes d'indices impairs $l=2k+1$ on a que:
$2$\fbox{(F)\Longrightarrow2\Bigsum_{k=0}^{p}C_{2p+1}^{2k+1}(i)^{2k+1}(sqrt{x})^{2p-2k}=0\Longrightarrow2i\Bigsum_{k=0}^{p}C_{2p+1}^{2k+1}(-1)^{k}x^{p-k}=0\Longrightarrow\Bigsum_{k=0}^{p}C_{2p+1}^{2k+1}(-1)^{k}x^{p-k}=0\Longrightarrow(E)}$
Ainsi toute solution de $(F)$ est solution de $(E)$ et comme $(E)$ est polynomiale de degré $p$ elle admet au plus $p$ solutions.Conclure.
b)
Le polynome $3$\fbox{P(x)=\Bigsum_{k=0}^{p}C_{2p+1}^{2k+1}(-1)^{k}x^{p-k}}$ étant de degré $p$ ,de coefficient dominant $C_{2p+1}^{1}=2p+1$ et admettant $p$ racines distinctes que sont les $x_k$ il s'écrit aussi:
$3$\fbox{P(x)=(2p+1)\Bigprod_{k=1}^{p}(x-x_k)=(2p+1)(x^p-(\Bigsum_{k=1}^{p}x_k)x^{p-1}+(.)x^{p-2}+..)}$
En égalant les coefficients de $x^{p-1}$ dans ces deux expressions de $P$ on voit que:
$5$\blue\fbox{\Bigsum_{k=1}^{p}\hspace{5}cotan^2(\frac{k\pi}{2p+1})=\frac{p(2p-1)}{3}}$

Sauf erreurs bien entendu

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