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complexes_équations

Posté par basso (invité) 04-08-05 à 10:29

bonjour tout le monde,

j'ai un petit exercice, en apparence simple ... mais je n'arrive pas du tout à le faire ... si vous pouviez m'aider ce serait gentil

alors voilà soit n supérieur ou égal à 2. On considère l'équation dans C

(E) : (z-1)n-zn=0

on nous demande pour la première question de montrer que si z est solution alors Re(z)=1/2

j'essaie d'utiliser la furmule du binôme de Newton mais j'ai l'impression que ça ne me mène pas trop loin ... pourriez vous m'aider ? merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes_équations 04-08-05 à 10:41

Indice : si deux nombres complexes ont même puissance nième, alors ils ont même module. Donc...

Posté par basso (invité)re : complexes_équations 04-08-05 à 10:47

oui en effet c'est beaucoup plus simple comme ça :d

je n'y avais pas vraiment pensé ! :d ... merci beaucoup

Posté par basso (invité)re : complexes_équations 04-08-05 à 10:52

si vous pouviez encore m'aider,
je dois aussi résoudre l'équation en donnat z sous la forme x+iy avec x et y réels, mais je ne vois pas comment exploiter ce qu'on vient de montrer auparavant ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes_équations 04-08-05 à 10:53


Je pense que tu l'avais vu, mais juste au cas où :
|z| = |z-1|
s'interprète géométriquement comme : le point d'affixe z est à égale distance de l'origine O et de A(1,0) : il est donc sur la médiatrice de [OA], c'est-à-dire la droite réelle x=1/2

Nicolas

Posté par basso (invité)re : complexes_équations 04-08-05 à 11:01

oui merci
mais par contre je ne vois pas du tout comment trouver y ... j'essaie aussi de montrer que x=1/2 est une condition suffisante pour que z soit solution, mais ça je n'en suis même pas sûre ...

merci de m'aider

Posté par basso (invité)re : complexes_équations 04-08-05 à 11:08

en fait on a d'après l'équation (E) :
(x-1+iy)n=(x+iy)n de plus x=1/2

(iy-1/2)n=(iy+1/2)n

qui est de la forme (a+b)n=(a-b)n
ce qui n'est possible que si b=0, a étant fixé.

au final dans notre équation on obtient : z=1/2 est l'unique solution ... je ne suis pas du tout sûre de ce que j'avance, et en plus je ne sais pas si on peut appliquer ce que j'ai dit sur les (a+b)n à des identités complexes ...

merci de m'éclaircir

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes_équations 04-08-05 à 11:14

basso, je ne suis pas sûr de ton raisonnement
(a+b)^n = (a-b)^n
\Leftrightarrow (a+b)^n - (a-b)^n = 0
\Leftrightarrow (a+b-a+b)(...) = 0
\Leftrightarrow b=0 ou (...) = 0

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes_équations 04-08-05 à 11:19

basso, tu peux peut-être essayer la piste suivante :

On veut résoudre :
(1/2+iy)n = (-1/2+iy)n
Si tu notes 1/2+iy = \rho e^{i\theta}
alors -1/2+iy = \rho e^{-i(\pi-\theta)} (place les points sur un dessin)
et continue en polaire...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes_équations 04-08-05 à 11:20

Erreur de frappe. Lire :
-1/2+iy = \rho e^{i(\pi-\theta)}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes_équations 04-08-05 à 11:29

Pour revenir sur ton "qui est de la forme (a+b)n=(a-b)n
ce qui n'est possible que si b=0, a étant fixé."

Un contre-exemple simple :
(0-2)2 = (0+2)2

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes_équations 04-08-05 à 11:47

Mon raisonnement...

On note z=x+iy=\rho e^{i\theta}

(z-1)^n=z^n
\Leftrightarrow (z-1)^n=z^n et x=1/2 (1ère question)
\Leftrightarrow (1/2+iy)^n=(-1/2+iy)^n et x=1/2
\Leftrightarrow (\rho e^{i\theta})^n=(\rho e^{i(\pi-\theta)})^n et x=1/2
\Leftrightarrow e^{in\theta} = e^{in(\pi-\theta)} et x=1/2
\Leftrightarrow \theta = \pi/2 mod. \pi/n et x=1/2
\Leftrightarrow \theta = \pi/2 mod. \pi/n et x=1/2 et -\pi/2<\theta<\pi/2 mod. 2\pi (conséquence directe de x=1/2)
\Leftrightarrow Re(z)=1/2 et \theta est l'une des valeurs (mod. 2\pi) \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{n}, \frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{n}, ..., \frac{\pi}{2}-\frac{(n-1)\pi}{n}

Nicolas

Posté par basso (invité)re : complexes_équations 04-08-05 à 12:05

oui je vois mieux merci  
par contre petite question encore ... dans la résolution peut-on passer de la première ligne à la deuxième ligne en utilisant l'équivalence ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes_équations 04-08-05 à 12:53

Je dirais :
(\Rightarrow) c'est la question 1)
(\Leftarrow) c'est évident

Tu ne crois pas ?

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes_équations 04-08-05 à 13:07

Je dis :
(\Leftarrow) c'est évident
car :
A et B \Rightarrow B
ou en d'autres termes :
"si on A est vraie, et en plus B est vraie, alors a fortiori A est vraie"

Nicolas

Posté par basso (invité)re : complexes_équations 04-08-05 à 13:49

ok merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : complexes_équations 04-08-05 à 16:58

basso, 2 petits compléments

(1) Terminons proprement le (a+b)n=(a-b)n de tout-à-l'heure

Pour un entier>0 n donné, quels sont les réels a et b vérifiant :
(a+b)^n=(a-b)^n ?

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} telle que f(x)=x^n. On connait la "forme" de f.
Si n est pair, alors f est strictement décroissante puis strictement croissante, et paire (je ne détaille pas la description).
Si n est impair, f est strictement croissante (je ne détaille pas la description).

(a+b)^n=(a-b)^n
\Leftrightarrow \{{n\rm{ pair et } (a+b)^n=(a-b)^n\\ \rm{ou} \\ n\rm{ impair et } (a+b)^n=(a-b)^n}
\Leftrightarrow \{{n\rm{ pair et } (a+b)=-(a-b)\\ \rm{ou} \\ n\rm{ impair et } (a+b)=(a-b)}
\Leftrightarrow \{{n\rm{ pair et } a=0\\ \rm{ou} \\ n\rm{ impair et } b=0}

(2) Quelles sont les solutions réelles du problème de départ ?

(2a) Première méthode

x\in\mathbb{R}. On procède comme en (1)

x^n=(x-1)^n
\Leftrightarrow \{{n\rm{ pair et } x=-(x-1)\\ \rm{ou} \\ n\rm{ impair et } x=x-1}
\Leftrightarrow n\rm{ pair et }x=1/2

(2b) Seconde méthode

Parmi les solutions complexes trouvées ci-dessus, les seules solutions réelles sont celles d'argument nul (puisqu'on sait déjà que \theta \in ]-\pi/2; \pi/2[)

Or, pour annuler \theta, il faut et il suffit que :
\exists k\in\mathbb{N}, 1\le k\le n-1\rm{, tel que }\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{n}=0
c'est-à-dire \exists k\in\mathbb{N}, 1\le k\le n-1\rm{, tel que }n=2k
c'est-à-dire n pair

Alors la solution réelle est z=1/2

Nicolas





Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : complexes_équations 04-08-05 à 17:37

Bonjour tout le monde;
une autre façon de faire serait de remarquer que:
(E)\Longleftrightarrow (\frac{z-1}{z})^n=1
(z\neq0 puisque 0 n'est pas solution) donc:
(E)\Longleftrightarrow 1-\frac{1}{z}=e^{\frac{2ik\pi}{n}},1\le k\le n-1
(la valeur k=0 étant impossible puisque \frac{1}{z}\neq0)
ainsi (E) admet exactement n-1 solutions que sont les: z_k=\frac{1}{1-e^{\frac{2ik\pi}{n}}} 1\le k\le n-1
en remarquant que pour \theta\neq0[2\pi]:
\frac{1}{1-e^{i\theta}}=\frac{1}{2sin(\frac{\theta}{2})}ie^{-\frac{i\theta}{2}}=\frac{1+icotan(\frac{\theta}{2})}{2} (cotan désignant la fonction x\to\frac{cos(x)}{sin(x)})
on voit alors que les solutions de (E) sont les:
4$\red z_k=\frac{1}{2}+i\frac{cotan(\frac{k\pi}{n})}{2} 4$\red 1\le k\le n-1
Voilà,j'espére que je n'ai pas écris de bétises


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