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complexes et alignement de points
bonsoir,
Je bute depuis plus d'une demi-heure sur cette question donc je viens chercher un peu d'aide sur "l'ile". Merci d'avance.
"Soient w
U, n[2,+
[(n entier), et (E) l'équation : z^n=w.
On note z[1],...,z[n] les n solutions de (E). On munit le plan d'un repère orthonormé direct. Montrer que les points d'affixes (1+z[1])^n,...,(1+z[n])^n sont alignés."
Bonsoir molp
Peut-être y a-t-il une solution plus élégante mais on peut remarquer que le problème revient à montrer que pour tout k différent de 1, le complexe
a un argument qui est indépendant de k.
Kaiser
bonjour,
Tout d'abord je ne comprend pas pourquoi si on montre que si ce complexe a un argument qui est indépendant de k alors les points d'affixes (1°z[1])^n,(1+z[2])^n,...,(1+z[])^n seront alignés.
Et deuxièmement je n'arrive pas à caluculer l'argument de ce complexe : les puissances n me gènent et on ne peut bien sur pas mettre en facteur.
Bonjour molp
En fait, j'avais oublié un détail mais l'idée est là.
Il faut raisonner en terme d'affixes de vecteurs. J'explique : si l'on pose le point d'affixe
.
Le problème revient alors à montrer que les vecteurs sont colinéaires et donc que les arguments de de ces complexes sont égaux modulo
.
Pour t'en convaincre, essaie de faire un dessin.
Sinon, as-tu essayé de calculer explicitement les ?
Kaiser
oui je comprend et j'ai calculer les z[k]. Je trouve :
z[0];z[0].e^((i2
)/n);...;z[0].e^((i2(n-1))/n)
avec z[0] une racine évidente de w : z[0]=e^((i
)/n)
Mais je vois pas comment montrer que les vecteurs sont colinéaires.
Une astuce serait de commencer par simplifier en factorisant, à l'intérieur de la parenthèse, pour essayer de faire intervenir un cosinus par exemple.
d'accord, donc par symétrisation on obtient :
(e^((i(+k.))/2n).2cos((+k.)/2n))^n
mais je vois pas en quoi cela nous avance plus !!!
Attends deux secondes :
Je suis d'accord avec toi pour , par contre, la factorisation, il me semble qu'il y a un 2 en trop.
Autre chose : le 2 ressort aussi à la puissance n.
Kaiser
Le problème c'est que je comprend pas en qoui le fait que l'argument du point M[k] soit réel nous indique que les points M[1],..,M[k] soient alignés.
Désolé, en fait on a pas tout à fait terminé. 
Il faut regarder l'argument de .
Une dernière précision : un argument est toujours réel.
dela même façon que pour z[k] on trouve :
(1+z[1])^n = e^((i(+2.))/2).2^n.cos^n((+2.)/2n)
mais après je sais pas comment calculer l'arg de la différnce des deux.
En fait, je crois qu'on peut faire plus simple.
On a montré que les affixes des points avaient des arguments égaux modulo
, donc il sont alignés. Plus précisément, ces points se trouvent sur la droite qui fait un angle
avec l'axe de abscisses.
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