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Complexes et sommes

Posté par
Ptit-Louis 24-09-11 à 18:58

Bonjour à tous, voici l'exo qui me pose problème :

Soit un réel,
Calculer la somme )" alt="\sum_{k=0}^n e^(ik)" class="tex" />.
En déduire les valeurs de ))" alt="\sum_{k=0}^n cos(k))" class="tex" /> et )" alt="\sum_{k=0}^n sin(k)" class="tex" />.

Je voulais utiliser une formule du cours mais elle ne marche que pour les réels ...
Du coup je ne vois vraiment pas comment débuter !
Si vous pouviez m'aider ! Merci d'avance.

Posté par
Glapion Moderateurre : Complexes et sommes 24-09-11 à 19:39

Bonsoir, tu pourrais nous réécrire ça correctement ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Complexes et sommes 24-09-11 à 21:27

Bonjour ,

\Large\boxed{\sum_{k=0}^ne^{ik\theta}=\sum_{k=0}^n\left(e^{i\theta}\right)^k=\left\lbrace\begin{array}l \frac{e^{i(n+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1}\;\;,\;si\;e^{i\theta}\neq1\\n+1\;\;,\;sinon \end{array}\right} ... sauf erreur bien entendu

Posté par
Ptit-Louisre : Complexes et sommes 25-09-11 à 09:57

Oui pardon je n'ai pas réussi à écrire le théta comme il faut ...
Merci à elhor_abdelali pour son aide mais cette formule marche aussi pour les nombres complexes ?
J'ai cru qu'elle ne marchait que pour les réels ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Complexes et sommes 25-09-11 à 18:28

La formule \Large\boxed{\left(1-q\right)\times\left(1+q+..+q^n\right)=\left(1+q+..+q^n\right)\times\left(1-q\right)=1-q^{n+1}} est valable dans tout anneau \left(A,+,\times\right) elle se montre facilement par récurrence

et si 1-q est inversible on a \Large\boxed{1+q+..+q^n=\left(1-q\right)^{-1}\times\left(1-q^{n+1}\right)=\left(1-q^{n+1}\right)\times\left(1-q\right)^{-1}} ce qui est le cas en particulier si \left(A,+,\times\right) est un corps et si q\neq1 ...


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