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Comportement d une suite
Bonjour a tous,
Voila l'enoncé qui me pose probléme:
On considére la suite Un définie sur tout n € N
Un= (n+1/n)²
1)Montrer que la suite Un est décroissante.
2)En déduire que si n >5 alors Un<3/2
Alors pour le 1) j'ai décidé de faire
Un+1-Un afin d'étudier la différence et de trouver un résultat négatif ce qui me permettrait de justifier que la suite est décroissante, mais je bloque dans les calculs.
Un+1= (n²+4n+4)/(n²+2n+1)
Un= (n²+2n+1)/n²
J'ai essayé plusieurs fois de réaliser le calcul mais je n'arrive jamais a un résultat satisfaisant.
Est ce que quelqu'un pourrait me guider dans les étapes a faire svp ou au moins me donner le résultat auquel je devrais arriver si mes calculs étaient justes?
Pour le 2) je ne m'y suis pas encore attaqué, mais je ne vois pas trop la méthode a utiliser encore...?
Merci de votre aide.
Bonjour,
Pou montrer que Un est décroissante, il suffit de démonter que Un+1<Un c'est à dire que
Un+1-Un<0
Calcules cette expression et montre que c'est négatif.
A toi de jouer
Bonjour
Plus simple pour l'étude de variation :
Posons :
En posant : et
alors
or , h est croissante sur R+ ( donc sur N) et g est décroissante sur R+ ( donc aussi sur N) . On en déduit que gof est décroissante sur R+ donc que f , c'est a dire Un ,est décroissante sur N
Alors j'ai calculé Un+1-Un et je trouve que
Un+1=(n+2)²/(n+1)²
Un=(n+1)²/n²
Un+1-Un=-(2n²+1+4n)/(n²(n+1)²)
Le dénominateur est tjs positif tandis que le num est tjs négatif donc
Un+1-Un<0
Somarine , merci du conseil mais c'est déja ce que j'expliquais et que je tentais de réaliser.
Nightmare, Je ne suis pas sur d'avoir saisi ta démonstration.
que veut dire "F(n)=hog" et on déuit que GOF ?
En tout cas merci a toi pour ton aide.
En fait mon probléme était surtout un probléme de calcul , surement du a la mise en dénominateur commun.
Pardon , je voulais dire : "on en déduit que hog" et non "gof"
N'as tu pas vu les compositions de fonctions ? gof = g suivi de f . hog= h suivi de g . En fait , hog=h(g(x)) si tu préfére .
Et nous savons que si h et g sont toutes deux croissante ( resp. décroissante) sur I , hog est croissante
et si h et g sont de variations différent sur I , alors hog est décroissante .
Ici , h est croissante sur R+ et g est décroissante sur cet intervalle , on en déduit que hog est décroissante sur R+
or , (hog)(n)=f(n) donc f est décroissante sur n .
Comme f défini la suite Un , elles ont le même sens de variation , donc Un est décroissante sur N
Essaies de refaire le calcul; si tu veux mets les calculs, je te dirais où t'as faux.
Ok,je viens de refaire mon calcul avec le dénominateur commun n²(n+1)² et j'arrive bien a retrouver ton résultat final , donc a pouvoir en conclure que c'est décroissant.
Merci !
Je vous mets quand méme quelques lignes de calculs pr vous montrer que je ne viens pas la pr me faire résoudre mes problémes mais bel et bien pour m'aider.
Derniére ligne de calcul avant simplification:
(n^4+4n^3+4n^2-n^4-4n^3-6n^2-4n-1)/n²(n+1)²
Beaucoups de termes s'annulent et on arrive bien au résultat correct.
Encore Merci de votre aide !
C'est bien, tu essais de faire des efforts.
Car je pense que ça ne sert à rien de résoudre un exo en entier pour quelqu'un.
Si tu veux de l'aide pour la suite n'hésites pas.
Bon couraghe
2)En déduire que si n >5 alors Un<3/2
J'avoue que je bloque sur cette question depuis que j'ai réussi a faire la une.
Auparavant c'était un probléme de calcul mais la c'est plus un probléme de méthode...
Si quelqu'un pourrait me donner une piste de comment le résoudre ce serait sympathique.
J'avais d'abord pensé a faire a résoudre Un<3/2
Puis aprés avoir fait plusieurs fois :
(n+1/n)²<3/2
(n+1/n)²-3/2<0
Pour retrouver une valeur de n supérieure a 5, je me suis doutais que ma méthode n'était pas correcte ?
Un=(n+1/n)²
Un=(1+(1/n))²
Tu pars de n>5 et tu te ramènes à Un
n>5
(1/n)<(1/5)
(1/n)+1<(6/5)
((1/n)+1)²<36/25=1.44
or 1.44<3/2
donc Un<3/2
Si tu n'as pas compris une étape, dis le moi.
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