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Composé de réflexions

Posté par
anonyme1 14-02-12 à 18:38

Bonjours à tous,

j'aurais besoin de votre aide pour cette exercice :

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O, u, v), on considère les points A et B d'affixes respectives a et b.

1) Donner l'écriture complexe de la réflexion d'axe (OA) notée S(OA).
2) Donner l'écriture complexe de la réfléxion d'axe (OB) notée S(OB)
3) a_ Montrer que l'écriture complexe de S(OA)°S est : z'= ((a(b-bar))/((a-bar)b)) * z
   b_ En déduire que S(OA)°S(OB) est la rotation de centre O et d'angle 2(OB; OA)

4) Application
Quelle est la nature de S(OA)°S(OB) dans le cas où :
a_ a=1-i et b=1+i
b_ a=3 et b=1+i


J'ai réussi les question 1, 2 et 3a

J'ai besoin de votre aide pour les question 3b et 4 :

3)b L'écriture complexe de la rotation de centre O et d'angle 2(OB; OA) est z'=z*e^i2(OB; OA), je ne vois pas comment passer de cette écriture à
z'= ((a(b-bar))/((a-bar)b)) * z
4) Qu'entendent-t-ils par "nature" ? Pouvez vous me donner une piste pour commencer ?

Posté par
anonyme1re : Composé de réflexions 14-02-12 à 19:16

up

Posté par
cailloux Correcteurre : Composé de réflexions 14-02-12 à 22:48

Bonsoir,

1)L' écriture complexe de S_{(OA)} est de la forme:

z'=\alpha \bar{z}+\beta

On écrit ensuite que O(0) et A(a) sont invariants:

\beta =0 et a=\alpha \bar{a} d' où \alpha= \dfrac{a}{\bar{a}}

et l' écriture complexe de S_{(OA)}:

z'=\dfrac{a}{\bar{a}}\,\bar{z}

2) De la même manière pour l' écriture complexe de S_{(OB)}:

z'=\dfrac{b}{\bar{b}}\,\bar{z}

3)a)On a donc pour l' écriture complexe de S_{(OA)}\circ S_{(OB)}:

z'=\dfrac{a}{\bar{a}}\overline{\left(\dfrac{b}{\bar{b}}\,\bar{z}\right)}

z'=\dfrac{a}{\bar{a}}\,\dfrac{\bar{b}}{b}\,z

z'=\dfrac{a\bar{b}}{\bar{a}b}\,z

3)b)On a \left|\dfrac{a\bar{b}}{\bar{a}b}\right|=\dfrac{|a||\bar{b}|}{|\bar{a}||b|}=\dfrac{|a||b|}{|a||b|}=1

Et Arg\left(\dfrac{a\bar{b}}{\bar{a}b}\right)=2\,Arg\left(\dfrac{a}{b}\right)=2\,(\vec{OB};\vec{OA})

S_{(OA)}\circ S_{(OB)} est donc la rotation de centre O et d' angle 2\,(\vec{OB};\vec{OA})

Posté par
cailloux Correcteurre : Composé de réflexions 14-02-12 à 22:58

4) a=1-i et b=1+i

On a 2\,(\vec{OB};\vec{OA})=-\pi\;\;[2\pi]

S_{(OA)}\circ S_{(OB)} est la rotation de centre O et d' angle -\pi.

Autrement dit, c' est la symétrie centrale de centre O

a=3 et b=1+i:

2\,(\vec{OB};\vec{OA})=-\dfrac{\pi}{2}\;\;[2\pi]

S_{(OA)}\circ S_{(OB)} est la rotation de centre O et d' angle -\dfrac{\pi}{2}




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