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Niveau terminale
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Composée de déplacements et d'antidéps

Posté par
mbm95
02-12-13 à 18:38

Salut, voici l'énoncé:
Soit f un déplacement qui renvoie A sur B et C sur D.
       g un antidéplacement qui renvoie A sur B et C sur D (même couple).
Déterminer l'ensemble des points M du plan, tels que f(M)=g(M).

Ma réponse:
Moi je décompose g en g=foS(AC) (antidéplacement qui coïncide avec f en deux points)
j'obtiens alors:    foS(AC)(M)=f(M)
j'applique f-1 à gauche et j'obtiens:
M=S(AC)(M) l'ensemble est donc la droite (AC).

D'un autre côté je peux décomposer g en g=S(BD)of
j'obtiens alors: S(BD)of(M)=f(M)
j'applique f-1 à droite et j'obtiens:
S(BD)(M)=M l'ensemble est donc la droite (BD).

(BD)(AC) l'une des réponses est fausses, mais laquelle? et pourquoi?

Merci pour votre aide

Posté par
mbm95
re : Composée de déplacements et d'antidéps 02-12-13 à 18:53

Quelqu'un?  

Posté par
zzoe
re : Composée de déplacements et d'antidéps 02-12-13 à 19:19

bonsoir,
Je pense que ce n'est pas un ex de Terminale...
Mes souvenirs sur le sujet sont très anciens...

Il s'agit bien d'un pb dans le plan affine?
La décomposition
"Moi je décompose g en g=foS(AC) (antidéplacement qui coïncide avec f en deux points)"  
est fausse:

Ce qui suit montre que la décompo est fausse, mais ne résout pas le pb.

En effet, les seuls déplacements du plan sont les translations (on aurait alors vectAB=vectCD) et les rotations.

Supposons que les dtes (AB) et (CD) ne soient pas parallèles: f est une rotation dont le centre est le pt d'intersection des dtes (AB) et (CD).

g peut être la sym d'axe la bissectrice du "bon angle".
la décomposition proposée ne convient pas: elle marche pour les pts de la dte (AB), mais c'est à peu près tout.

Remarque: Difficile d'aider si on ne connait pas le niveau de connaissance de l'étudiant...

Posté par
cailloux Correcteur
re : Composée de déplacements et d'antidéps 02-12-13 à 19:48

Bonjour,

f\circ g^{-1} est un antidéplacement qui a B et D comme points fixes.

Donc f\circ g^{-1}=S_{(BD)}

Si M répond au problème, on a f(M)=g(M)=M'

et (f\circ g^{-1})(M')=f(M)=M'=S_{(BD)}(M') donc M' \in (BD) et nécessairement M\in f^{-1}[(BD)]=g^{-1}[(BD)]= (AC)

Réciproquement, l' image de la droite (AC) par f et par g est la droite (BD)

Posté par
cailloux Correcteur
re : Composée de déplacements et d'antidéps 02-12-13 à 19:56

Je crois que mon post au dessus ne tient pas la route pour la réciproque.

Posté par
zzoe
re : Composée de déplacements et d'antidéps 02-12-13 à 20:29

je viens de me rendre compte que ce que j'ai dit est faux. Il ne faut pas tenir compte de ma réponse; Désolée!

Posté par
cailloux Correcteur
re : Composée de déplacements et d'antidéps 03-12-13 à 00:29

Je reprends les choses un peu plus "proprement":

f^{-1}\circ g composée d' un déplacement et d' un antidéplacement est un antidéplacement.

(f^{-1}\circ g)(A)=f^{-1}(B)=A

(f^{-1}\circ g)(C)=f^{-1}(D)=C

Donc f^{-1}\circ g=S_{(AC)}

Soit M tel que f(M)=g(M):

S_{(AC)}(M)=(f^{-1}\circ g)(M)=(f^{-1}\circ f)(M)=M

En conséquence, nécessairement M\in(AC)

Réciproquement, soit M\in(AC):

M'=f(M)\in f[(AC)]=(BD) et M''=g(M)\in g[(AC)]=(BD)

De plus MA=M'B=M''B et MC=M'D=M''D

Donc M'=M'' et f(M)=g(M)



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