Bonsoir,
J'ai quelques problemes pour répondre à cette question :
Soit E un espace affine; déterminer la composée d'une symétrie centrale et d'une translation.
Je ne sais pas trop comment partir (d'autant qu'on ne travaille pas forcément dans R^2 ou R^3), peut etre en étudiant les applications linéaires associées, mais bon je ne vois pas trop...
Merci de m'éclairer
Nil.
Bonsoir,
Juste des indications:
1/ faire un dessin dans le plan, ca peut des fois donner des idees... La force de l'algebre. c'est que meme si on n'est pas dans R^2 ou R^3, ben... ca marche quand meme, car on manipule des concepts semblables.
2/ par exemple, la composee en question: a-t-elle un ou des points invariants?? Si oui, comment sont-ils definis? (regarder dans le plan, sur le dessin de tout a 'l'heure: comment faire pour qu'un point soit envoye sur lui-meme?
3/ a partir de la... si on a un point invariant, il est sans doute utile de s'en servir...
Courage,
A+
biondo
Bonsoir Biondo,
j'ai effectivement trouvé un point invariant : A = O -1/2*vecteur_u
où : O est le centre de la symétrie et vecteur_u le vecteur de la translation.
dans ce cas,
Pour tout point M, l'application linéaire s_fleche o t_fleche transforme le vecteur MA en -MA (en utilisant le fait que t_fleche = IdE et s_fleche = -IdE)
et d'autre part vecteur_sot(M)sot(A) = vecteur_sot(M)A
d'ou vecteur_MA = - vecteur_sot(M)A et sot symétrie centrale de centre A.
Le raisonnement tient il la route ?
(désolé pour l'écriture un peu lourde, il faut vraiment que je me mette au LaTeX)
Nil.
Bonsoir Biondo,
j'ai effectivement trouvé un point invariant : A = O -1/2*vecteur_u
où : O est le centre de la symétrie et vecteur_u le vecteur de la translation.
dans ce cas,
Pour tout point M, l'application linéaire s_fleche o t_fleche transforme le vecteur MA en -MA (en utilisant le fait que t_fleche = IdE et s_fleche = -IdE)
et d'autre part vecteur_sot(M)sot(A) = vecteur_sot(M)A
d'ou vecteur_MA = - vecteur_sot(M)A et sot symétrie centrale de centre A.
Le raisonnement tient il la route ?
(désolé pour l'écriture un peu lourde, il faut vraiment que je me mette au LaTeX)
Nil.
Hum désolé pour le double post (j'ai eu un message d'erreur "pas de message pour ce sujet" en postant, j'ai cru que ça n'avais pas marché)
Bonsoir;
Notons:
l'espace vectoriel direction de l'espace affine
.
l'application linéaire associée à l'application affine
.
une translation de
.
une symétrie centrale de
.
Il s'agit alors de determiner la nature des deux applications affines et
Comme:
on voit que
ainsi les deux applications affines et
sont des symétries centrales.
Pour determiner le centre de on résoud l'équation
ce qui donne
et donc
c'est à dire
D'où
ce qui s'écrit
Par passage à l'inverse on a que
D'où
Sauf erreurs bien entendu
Merci Elhor, c'est à peu pres ce à quoi je pensais
Par contre, y a t il équivalence entre f_fleche = -IdE et f est une symétrie centrale ?
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