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Composées

Posté par Nil (invité) 30-05-06 à 23:12

Bonsoir,

J'ai quelques problemes pour répondre à cette question :
Soit E un espace affine; déterminer la composée d'une symétrie centrale et d'une translation.

Je ne sais pas trop comment partir (d'autant qu'on ne travaille pas forcément dans R^2 ou R^3), peut etre en étudiant les applications linéaires associées, mais bon je ne vois pas trop...

Merci de m'éclairer

Nil.

Posté par biondo (invité)re : Composées 30-05-06 à 23:35

Bonsoir,

Juste des indications:

1/ faire un dessin dans le plan, ca peut des fois donner des idees... La force de l'algebre. c'est que meme si on n'est pas dans R^2 ou R^3, ben... ca marche quand meme, car on manipule des concepts semblables.

2/ par exemple, la composee en question: a-t-elle un ou des points invariants?? Si oui, comment sont-ils definis? (regarder dans le plan, sur le dessin de tout a 'l'heure: comment faire pour qu'un point soit envoye sur lui-meme?

3/ a partir de la... si on a un point invariant, il est sans doute utile de s'en servir...


Courage,
A+
biondo

Posté par Nil (invité)re : Composées 31-05-06 à 00:21

Bonsoir Biondo,

j'ai effectivement trouvé un point invariant : A = O -1/2*vecteur_u
où : O est le centre de la symétrie et vecteur_u le vecteur de la translation.

dans ce cas,
Pour tout point M, l'application linéaire s_fleche o t_fleche transforme le vecteur MA en -MA (en utilisant le fait que t_fleche = IdE et s_fleche = -IdE)

et d'autre part vecteur_sot(M)sot(A) = vecteur_sot(M)A

d'ou vecteur_MA = - vecteur_sot(M)A et sot symétrie centrale de centre A.

Le raisonnement tient il la route ?
(désolé pour l'écriture un peu lourde, il faut vraiment que je me mette au LaTeX)

Nil.

Posté par Nil (invité)re : Composées 31-05-06 à 00:21

Bonsoir Biondo,

j'ai effectivement trouvé un point invariant : A = O -1/2*vecteur_u
où : O est le centre de la symétrie et vecteur_u le vecteur de la translation.

dans ce cas,
Pour tout point M, l'application linéaire s_fleche o t_fleche transforme le vecteur MA en -MA (en utilisant le fait que t_fleche = IdE et s_fleche = -IdE)

et d'autre part vecteur_sot(M)sot(A) = vecteur_sot(M)A

d'ou vecteur_MA = - vecteur_sot(M)A et sot symétrie centrale de centre A.

Le raisonnement tient il la route ?
(désolé pour l'écriture un peu lourde, il faut vraiment que je me mette au LaTeX)

Nil.

Posté par Nil (invité)re : Composées 31-05-06 à 00:22

Hum désolé pour le double post (j'ai eu un message d'erreur "pas de message pour ce sujet" en postant, j'ai cru que ça n'avais pas marché)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Composées 31-05-06 à 01:12

Bonsoir;
Notons:
\vec{E} l'espace vectoriel direction de l'espace affine E.
\vec{f} l'application linéaire associée à l'application affine f.

t_{\vec{u}} une translation de E.

s_{\Omega} une symétrie centrale de E.

Il s'agit alors de determiner la nature des deux applications affines t_{\vec{u}} o s_{\Omega} et s_{\Omega} o t_{\vec{u}}

Comme:
\fbox{\vec{t_{\vec{u}}}=Id_{\vec{E}}\\\vec{s_{\Omega}}=-Id_{\vec{E}}} on voit que \fbox{\vec{t_{\vec{u}} o s_{\Omega}}=\vec{s_{\Omega} o t_{\vec{u}}}=-Id_{\vec{E}}}
ainsi les deux applications affines t_{\vec{u}} o s_{\Omega} et s_{\Omega} o t_{\vec{u}} sont des symétries centrales.
Pour determiner le centre de t_{\vec{u}} o s_{\Omega} on résoud l'équation \fbox{t_{\vec{u}} o s_{\Omega}(X)=X} ce qui donne \fbox{\vec{s_{\Omega}(X)X}=\vec{u}} et donc \fbox{\vec{\Omega X}-\vec{\Omega s_{\Omega}(X)}=\vec{u}} c'est à dire \fbox{\vec{\Omega X}+\vec{\Omega X}=2\vec{\Omega X}=\vec{u}}
D'où \fbox{X=\Omega+\frac{\vec{u}}{2}}
ce qui s'écrit 3$\blue\fbox{t_{\vec{u}} o s_{\Omega}=s_{\Omega+\frac{\vec{u}}{2}}}
Par passage à l'inverse on a que
3$\fbox{s_{\Omega} o t_{-\vec{u}} =s_{\Omega+\frac{\vec{u}}{2}}}
D'où 3$\blue\fbox{s_{\Omega} o t_{\vec{u}} =s_{\Omega-\frac{\vec{u}}{2}}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par Nil (invité)re : Composées 31-05-06 à 22:53

Merci Elhor, c'est à peu pres ce à quoi je pensais

Par contre, y a t il équivalence entre f_fleche = -IdE et f est une symétrie centrale ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Composées 01-06-06 à 01:20

Oui Nil , dans tout espace affine E il y'a bien équivalence entre f symétrie centrale et \vec{f}=-Id_{\vec{E}}:
\fbox{\fbox{\Longrightarrow}} évident.
\fbox{\fbox{\Longleftarrow}} Soit O un point (quelconque) de E et \Omega le milieu du segment [O\hspace{5}f(O)] on peut écrire
\fbox{\vec{f(\Omega)\hspace{5}f(O)}=-\vec{\Omega\hspace{5}O}=\vec{\Omega\hspace{5}f(O)}} ce qui implique que 2$\blue\fbox{f(\Omega)=\Omega}
et on voit bien que 2$\blue\fbox{\forall M\in E\\\vec{\Omega\hspace{5}f(M)}=\vec{f(\Omega)\hspace{5}f(M)}=-\vec{\Omega\hspace{5}M}} ce qui prouve que f est bien la symétrie centrale de centre \Omega.
Sauf erreurs bien entendu


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