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Comprendre recurrence et limite corrigé
Bonsoir, j'ai une récurrence déjà corrigé que j'aimerai bien comprendre s'il vous plaît :
(Vn) suite définie par v0=0 et pour tout entier naturel n, vn+1=1/(2-vn)
On a d'abord montré par récurrence que 0<=vn<=1 ce que je comprend et j'ai réussi
Ensuite la seconde question :
On ADMET que pour tout entier naturel n, 1-vn+1<=(1-vn)/2
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
Et c'est la que je ne comprend pas, à partir de la démonstration que P(k+1)est vraie
On a mis :
Or 1-vk+1<=(1-Vk)/2 mais on est pas censé utiliser l'hypothèse de récurrence au début ?
=> 1-vk+1<=[(1/2)^k]/2 comment on est passé de la ligne précédente à celle-ci ?
=> 1-vk+1<=(1/2)^k+1 ici aussi, pourquoi ?
De plus d'après la question précédente pour tout entier naturel n, 0<=vn<=1. Donc 0<=vk+1<=1, je ne comprend pas si Vk est compris entre 0 et 1, ce n'est pas forcément le cas de Vk+1 ? Ou si parce qu'on a démontré ça à la question précédente ?d'où 0<=1-vk+1
On en déduit que 0<= 1-vk+1<=(1/2)^k+1
Donc P(k+1) est vraie
Ensuite on demande la limite quand n tend vers +infini
On a dit :
Pour tout entier naturel n, 0<=1-vn<=(1/2)^n
Or lim 0=0 et lim (1/2)^n=0
Donc d'après le théorème des gendarmes lim 1-vn=0
C'est la que je ne comprend pas, pourquoi on connaît lim vn grâce à lim 1-vn ?
Ainsi lim vn=1
Merci d'avance
Bonsoir
pour la dernière question, c'est parce que , et parce que si deux suites convergent respectivement vers a et b, alors leur somme converge vers a+b, ça se démontre facilement
je n'ai pas compris ce que tu dois montrer dans ton raisonnement par récurrence
Oui désolé je n'ai pas fini la phrase :
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0<=1-vn<=(1/2)^n
Simplifie à droite, tu verras bien que ça converge
Une fois que tu as l'égalité v_n = 1-(1-v_n), tu peux déduire que lim v_n = lim 1-(1-v_n) = lim 1 - lim (1-v_n)
Simplifie le membre de droite, tu verras bien que c'est égal à v_n
Ensuite, tu as une égalité de suites, tu sais que le membre de droite converge (car 1-v_n converge), cela veut dire que le membre de gauche converge aussi vers la même valeur
pour la récurrence, on sait déjà que , c'est ce qui est admis
l'hypothèse de récurrence c'est
en l'appliquant à l'inégalité de la première ligne, on obtient
ensuite,
Je n'ai pas compris d'où vient l'égalité vn=1-(1-vn) car elle n'est pas utilisé dans mon exercice
Ensuite pour la récurrence, parfois je dois utiliser l'hypothèse de récurrence comme départ et des fois non comme ici, comment je devais savoir que je devais utiliser ce qui est admis et non l'HR ?
Ensuite pourquoi on remplace 1-vn par (1/2)^k ? Ils ne sont pas égales pourtant ?
Note : je me suis trompé dans les indices dans mon dernier message, il y a des n qui se sont glissés dans la récurrence, je voulais mettre uniquement des k
Je n'ai pas compris d'où vient l'égalité vn=1-(1-vn) car elle n'est pas utilisé dans mon exercice
développe
Ensuite pour la récurrence, parfois je dois utiliser l'hypothèse de récurrence comme départ et des fois non comme ici, comment je devais savoir que je devais utiliser ce qui est admis et non l'HR ?
dans tout raisonnement, et cela inclut la récurrence, tu peux (et le plus souvent, tu dois) utiliser tout ce que tu as à disposition
Si on te dit avant la récurrence qu'on admet que
utiliser l'HR au début ou pas au début, ça n'a pas vraiment de sens. Tu peux l'invoquer au début, en mentionnant que tu la supposes vraie, mais tu ne t'en serviras pas forcément "au tout début". Le but est juste que tu t'aides à un moment de l'HR pour arriver à montrer que la propriété est vraie au rang n+1
Ensuite pourquoi on remplace 1-vn par (1/2)^k ? Ils ne sont pas égales pourtant ?
c'est l'utilisation de l'HR ici : puisque
Je reviens sur une autre question
De plus d'après la question précédente pour tout entier naturel n, 0<=vn<=1. Donc 0<=vk+1<=1, je ne comprend pas si Vk est compris entre 0 et 1, ce n'est pas forcément le cas de Vk+1 ? Ou si parce qu'on a démontré ça à la question précédente ?d'où 0<=1-vk+1
tu as dit toi même : pour tout entier naturel n, on a
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