Niveau Maths sup

Condition pour égalité de somme de produits scalaires

Posté par
ZiYun 05-05-21 à 19:22

Bonjour,

J'aimerais vous demander pour quelle condition sur un vecteur $u$ de $\mathbb{R}^{n}$ on a pour un ensemble fixé d'éléments de $\mathbb{R}^{n}$ $E=\{x_{1},...,x_{p}\}$ l'égalité suivante :
$\sum_{i=1}^{p}{||x_{i}-u||^{2}}=\sum_{i\neq j}^{p}{<x_{i}-u,u-x_{j}>}$

J'ai commencé par le deuxième terme de l'égalité en remarquant que dans cette somme on aura des $<x_{r}-u,u-x_{s}>+<x_{s}-u,u-x_{r}>$ lorsque $i=r,j=s$ et l'inverse, or, $<x_{r}-u,u-x_{s}>+<x_{s}-u,u-x_{r}> =2<x_{r}-u,x_{s}-u>$ , donc on peut écrire la somme comme :
$2\sum_{1=j<i}^{p}{<x_{i}-u,x_{j}-u>}$
Mais je n'arrive pas à avancer plus que ça.

J'ai aussi essayé de commencer par le premier terme de l'égalité mais je ne vois pas comment je pourrais introduire la double indexations, j'ai essayé de fixer un $j$ et d'introduire $x_{j}$ dans la norme pour développer avec l'identité remarquable mais je n'arrive pas à avancer plus que ça aussi.

J'avais vu cette égalité écrite de manière générale mais je me demande s'il y a des conditions sur le vecteur $u$ à exploiter.

J'espère que vous pourrez m'aider à résoudre cette question.

Merci d'avance.

Posté par re : Condition pour égalité de somme de produits scalaires 05-05-21 à 19:40

salut

$\sum_1^p ||x_i - u||^2 = \sum_{i \ne j} <x_i - u|u - x_j> \iff \sum_1^p <x_i - u | x_i - u> + \sum_{i \ne j} <x_i - u|x_j - u> = 0$ .... faut voir ...

vu que $u - x_j = u - x_i + x_i - x_j$ on en déduit que

$\sum_1^p ||x_i - u||^2 = \sum_{i \ne j} <x_i - u|u - x_j> \iff 2\sum_1^p <x_i - u | x_i - u> = \sum_{i \ne j} <x_i - u|x_i - x_j>$ ... faut voir ...

ou alors : $\sum_1^p ||x_i - u||^2 = \sum_1^p ||x_i||^2 - 2<\sum_1^p x_i |u> + p ||u||^2$

et $\sum_{i \ne j} <x_i - u | u - x_j> = 2\sum_1^p <x_i | u> - p||u||^2 - \sum_{i \ne j} <x_i | x_j>$

vérifier les deux derniers résultats en développant le produit scalaire ...

Posté par re : Condition pour égalité de somme de produits scalaires 05-05-21 à 19:41

ouais vérifier très certainement le dernier résultat ...

Posté par re : Condition pour égalité de somme de produits scalaires 05-05-21 à 21:23

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

La première équivalence donne : $\sum_{i, j}^{}{<x_{i}-u|x_{j}-u>}=0$ .
Cela laisse à penser que le $u$ qui permet d'avoir cette égalité est un "centre de gravité" de l'ensemble des points ?

Pour la deuxième équivalence je n'arrive pas à avancer plus que ça sinon je retombe vers les premières manipulations.

Le dernier résultat me donne plutôt ça :
$\sum_{i\neq j}^{}{<x_{i}-u|u-x_{j}>}=\sum_{i\neq j}^{}{(<x_{i}|u>-<x_{i}|x_{j}>-<u|u>+<u|x_{j}>)}$
Ce qui donne :
$\sum_{i\neq j}^{}{<x_{i}-u|u-x_{j}>}=\sum_{i\neq j}^{}{(<x_{i}+x_{j}|u>)}-\sum_{i\neq j}^{}{<x_{i}|x_{j}>}-p(p+1)||u||^{2}$
L'équivalence dans ce cas donnerait : $\sum_{i,j}^{}{<x_{i}|x_{j}>}-\sum_{i,j}^{}{<x_{i}+x_{j}|u>}=-p(p+2)||u||^{2}$
Qui donne une autre condition sur le vecteur, plus difficile à interpréter géométriquement.

Posté par re : Condition pour égalité de somme de produits scalaires 06-05-21 à 11:32

Bonjour,

La première relation suggère de poser $u=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p}{x_{i}}$ et cela donne rapidement que $\sum_{i,j}^{}{<x_{i}-u|x_{j}-u>}=\sum_{j=1}^{p}{<\sum_{i=1}^{p}{x_{i}}-pu|x_{j}-u>}=0$
Et on a donc bien l'égalité $\sum_{i=1}^{p}{||x_{i}-u||^{2}}=\sum_{i\neq j}^{}{<x_{i}-u|u-x_{j}>}$

Merci encore pour votre aide !

Posté par re : Condition pour égalité de somme de produits scalaires 06-05-21 à 11:48

de rien

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