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Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel

Posté par
HacH 13-09-19 à 18:48

Bonjour.

J'ai un problème de compréhension rigoureuse des notions de géométrie élémentaire du plan du bouquin "Cours de Mathématiques Sup MPSI PCSI PTSI TSI" de Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron. Disponible librement et gratuitement sur internet.

Au début je pensais que les points du plan étaient un ensemble qu'on pouvait noter  \usepackage{mathrsfs} \mathscr{P} qui à l'air d'être défini de manière intuitive sur Wikipédia. Le livre ne donne pas de définition de "plan" mais suppose la notion connue. Je pense que cette notion repose sur les axiomes d'Euclide sur son livre "Éléments".

Ensuite je pensais qu'à partir de l'ensemble \usepackage{mathrsfs} \mathscr{P} on définissait \usepackage{mathrsfs} \mathscr{V} l'ensemble des éléments nommés vecteurs dont ils sont les déplacements linéaires entre deux points de \usepackage{mathrsfs} \mathscr{P}.

Et enfin nous avons \mathbb{R}^2 l'ensemble des couples réels.

Mon problème :
Avant de commencer la lecture du chapitre je toujours pensé que \usepackage{mathrsfs} \mathscr{P} = \mathscr{V} = \mathbb{R}^2 .
Pendant la lecture je pensais avoir comprit que c'est trois ensembles étaient en fait différent de manière subtile. Qu'en fait il y a une bijection entre \usepackage{mathrsfs} \mathscr{P} et  \mathbb{R}^2, pareil entre \usepackage{mathrsfs} \mathscr{V} et \mathbb{R}^2 autrement dit qu'un point du plan n'est pas un couple de nombre réel.
Donc les points ne sont pas des vecteurs ni des couples de réels. Et les vecteurs ne sont pas non plus des couples de réels.
Et enfin une remarque ma interpellé :

Citation :
Si une base \usepackage{mathrsfs} \mathscr{B} est fixée, on peut identifier l'ensemble des vecteurs du plan avec \mathbb{R}^2. Notons \usepackage{mathrsfs} \theta _\mathscr{B} l'application
qui à un vecteur \vec{u} de \usepackage{mathrsfs} \mathscr{V} lui associe ses coordonnées \left(x,y \right) dans \usepackage{mathrsfs} \mathscr{B} :
\usepackage{mathrsfs} \theta _\mathscr{B} : \left\lbrace\begin{matrix} \mathscr{P} & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ M & \mapsto & \left(x,y \right) \end{matrix}\right.
La proposition 2.2 dit que \usepackage{mathrsfs} \theta _\mathscr{B} est bijective. Cette identification « respecte » de plus l'addition et la multiplication par un scalaire. Ainsi, si \vec{u} et \vec{u'} sont deux vecteurs du plan qui ont pour coordonnées respectives \vec{u}\begin{vmatrix} x\\ y \end{matrix} et \vec{u'}\begin{vmatrix} x'\\ y' \end{matrix} dans \usepackage{mathrsfs} \mathscr{B} alors
\usepackage{mathrsfs} \theta _\mathscr{B} \left( \vec{u}\right) = \left(x,y \right) et \usepackage{mathrsfs} \theta _\mathscr{B} \left( \vec{u'}\right) = \left(x',y' \right)

Ici \usepackage{mathrsfs} \mathscr{B}  est une base quelconque de \usepackage{mathrsfs} \mathscr{V} définit comme étant un couple de vecteurs de \usepackage{mathrsfs} \mathscr{V} non colinéaire. Il n'y a pas encore la notion de famille générateur à ce niveau la.

Donc \usepackage{mathrsfs} \theta _\mathscr{B} doit prendre en paramètre un élément de l'ensemble \usepackage{mathrsfs} \mathscr{P} par définition
Mais ensuite on a \usepackage{mathrsfs} \theta _\mathscr{B} qui prend en paramètre un élément de \usepackage{mathrsfs} \mathscr{V}

Donc \usepackage{mathrsfs} \theta _\mathscr{B} est définit sur \usepackage{mathrsfs} \mathscr{P} ou \usepackage{mathrsfs} \mathscr{V} finalement ? ou alors \usepackage{mathrsfs} \mathscr{P}=\usepackage{mathrsfs} \mathscr{V}?

Ce début de chapitre ma retourner un peu le cerveau à vrai dire si quelqu'un peut m'éclaircir...

Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 19:29

salut

un point "est" un couple de réels dans un plan repéré (muni d'un repère) : le plan affine

un vecteur "est" un couple de réels dans un plan muni d'une base : le plan vectoriel

mais un point ou un vecteur existe sans repère ni base

"est" signifie : il existe une bijection

il faut faire attention aux structures qui peuvent exister : le plan affine n'est pas le plan vectoriel (et réciproquement) mais on sait passer de l'un à l'autre classiquement :

on passe du plan affine en se fixant un point O

et alors à tout point M du plan affine on associe de façon unique le vecteur OM

...

Posté par
HacHre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 19:48

Donc \usepackage{mathrsfs} \theta _\mathscr{B}\leftri\left( \vec{u} \right) n'a pas de sens car \usepackage{mathrsfs} \theta _\mathscr{B} est défini sur \usepackage{mathrsfs} \mathscr{P} ?

Posté par
carpediemre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 20:13

c'est simplement l'application qui associe les coordonnées d'un vecteur dans une base prédéfinie (donnée à l'avance)

donc à toute base B tu peut définir une application bijective T du plan qui associe à tout vecteur ses coordonnées dans cette base ...

Posté par
HacHre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 20:45

Donc il y a un abus de langage ? Car le vecteur \vec{u} n'appartient pas à \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P} et pourtant pour appliquer l'application \usepackage{mathrsfs}\theta_\mathscr{B} à \vec{u} il faut vérifier que \vec{u}   appartiennent à \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P}

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 20:52

je m'incruste en tant que curieux (ou intéressé par le sujet) mais pas du tout expert...

Pourquoi ne pas dire que \vec u est une partie de \mathcal{P}\times \mathcal{P} si on considère que  \vec u est l'ensemble des bipoints équipollents

Posté par
co11re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 21:29

Bonsoir, je m'incruste aussi
d'après ta citation HacH, ton application a pour ensemble de départ V, or à la 3ème ligne, il semble que ce soit P, d'où une confusion j'imagine.
Pour moi, ton application fait correspondre, à un vecteur , ses coordonnées dans la base B.
Cela dit, si on fixe un point O dans P, on peut lui faire correspondre (bijection) le point M tel que vect(OM) =

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 21:39

Citation :
\usepackage{mathrsfs} \theta _\mathscr{B} : \left\lbrace\begin{matrix} \mathscr{P} & \rightarrow & \mathbb{R}^2 \\ M & \mapsto & \left(x,y \right) \end{matrix}\right.


Ce que je ne comprends pas, c'est la nature de l'objet M, pour moi si M\in \mathcal {P} alors  M est un point du plan

Posté par
HacHre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 21:42

Oui justement j'avais oublié cette ligne. Donc j'en ai directement déduit que finalement que \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P}=\mathscr{V}

Finalement je pense simplement qu'il y a une coquille dans le bouquin. J'imagine que si c'était écrit
\usepackage{mathrsfs}%20\theta%20_\mathscr{B}%20:%20\left\lbrace\begin{matrix}%20\mathscr{V}%20&%20\rightarrow%20&%20\mathbb{R}^2%20\\%20\vec{u}%20&%20\mapsto%20&%20\left(x,y%20\right)%20\end{matrix}\right.
je ne me serais pas bloqué dessus.

Posté par
HacHre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 21:50

Oui mousse42 mais dans le sens axiomatique du terme.

Posté par
co11re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 21:51

c'et ce que je pense ... à suivre

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 22:02

ou alors \theta_{\mathcal{B}} est surjective, c'est à dire à l'ensemble des bipoints de \mathcal{P}\times \mathcal{P} appartenant à la classe d'équivalence de \vec{u} a pour image les composantes \vec{u} dans \R^2

et dans ce cas on a \theta_{\mathcal{B}} :\mathcal{P}\times \mathcal{P}\to \R^2

Posté par
lafol Moderateurre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 22:26

Bonsoir
mousse, l'ensemble des vecteurs du plan n'est pas PxP, mais PxP/R, où R est la relation d'équivalence d'équipollence

Posté par
carpediemre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 22:27

à ce niveau on oublie les bipoints !!!

le plan (une feuille de papier que tu peux tenir comme tu veux) et ben "dessus" tu peux y marquer autant de points que tu veux ou y "tracer" autant de vecteur que tu veux

à nouveau (pour mousse42) les notations V ou P ne sont là que pour distinguer un cadre : le plan affine (ensemble de points) ou le plan vectoriel (ensemble de vecteur)

la notion d'équipollence ne peut servir qu'à faire comprendre qu'un vecteur u se "trace" où on veut dans le plan (physique) mais qu'il n'y a qu'un unique vecteur u dans le plan vectoriel (création de l'esprit)

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 22:39

lafol @ 13-09-2019 à 22:26

Bonsoir
mousse, l'ensemble des vecteurs du plan n'est pas PxP, mais PxP/R, où R est la relation d'équivalence d'équipollence


J'ai jamais dit ça, j'ai dit que \vec{u} est une partie de  \mathcal{P}\times \mathcal{P}



mousse42 @ 13-09-2019 à 20:52

je m'incruste en tant que curieux (ou intéressé par le sujet) mais pas du tout expert...

Pourquoi ne pas dire que \vec u est une partie de \mathcal{P}\times \mathcal{P} si on considère que  \vec u est l'ensemble des bipoints équipollents



J'ai mentionné que je ne suis pas expert, ni même ... j'y connais rien

Posté par
lafol Moderateurre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 22:43

ah pardon, j'avais lu trop vite

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 22:50

oh c'est pas grave je pardonne facilement, sauf carpediem qui refuse qu'il a tort pour le raisonnement par l'absurde

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 22:54

Posté par
carpediemre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 13-09-19 à 23:27

mousse42 @ 13-09-2019 à 22:50

oh c'est pas grave je pardonne facilement, sauf carpediem qui refuse qu'il a tort pour le raisonnement par l'absurde
pas grave si tu ne comprends pas le sens d'une notation ...

et qu'on ne commence pas par une affirmation non P mais par une affirmation P ...

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 10:20

Alors pourquoi ne pas dire que l'ensemble des points du plan  que l'on note \mathcal{P} possède une structure d'espace vectoriel. Et donc tout objet d'un tel ensemble est un vecteur.

Donc un point,  un polynôme, une fonction sont des vecteurs si leurs ensembles respectifs possèdent une structure d'espace vectoriel.

Et là on règle le problème

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 11:04

le seul truc qui me dérange est l'addition de deux points ...

Posté par
carpediemre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 11:32

le plan en tant qu'ensemble de points (donc le plan affine) n'a pas de structure d'espace vectoriel

le plan en tant qu'ensemble de vecteurs (donc le plan vectoriel) est par définition un espace vectoriel

PS : on peut remplacer le mot plan par le mot espace

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 11:48

Donc l'application en question c'est : \usepackage{mathrsfs} \theta_{B} :\mathscr{V} \to \mathbb{R}^2 et non \usepackage{mathrsfs} \theta_{B} :\mathscr{P} \to \mathbb{R}^2

Posté par
HacHre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 11:58

Si on prend a \in \usepackage{mathrsfs}\mathbb{R}\times\mathbb{R} on peut écrire par exemple a = (1,2)

Si on prend a \in \usepackage{mathrsfs}\mathscr{P} est-ce un abus de langage d'écrire a = (1,2) d'où la notation dont les inspecteurs insistent : a (1,2)

En fait entre l'enseignement que j'ai eu en master recherche et les exigences du secondaire j'ai l'impression que y'a un monde et moi je suis entre les deux un peu paumé.

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 12:04

J'ai lu quelque part que le couple (a,b)\in R^2 est soit un point du plan soit un vecteur, c'est selon le contexte. Si c'est un point, on parle de coordonnées, si c'est un vecteur on parle de composantes.

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 12:15

Ce qui me pose problème, c'est lorsque l'on dit \vec{u} un vecteur du plan \mathcal{P}, comme si \vec{u}\in \mathcal{P} ce qui me semble ne pas être le cas.

C'est pas clair pour moi aussi...

Posté par
carpediemre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 12:52

coordonnée ou composante c'est du kif kif au même ... voir (*)

un point n'est pas un couple mais il existe une bijection entre point d'un plan repéré et couple de R^2

et par abus de bon sens (quand on sait de quoi l'on parle) on confond les deux !!!

mais dans le cadre d'une pédagogie on va évidemment distinguer les deux !!!  (*)

Posté par
HacHre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 12:54

D'après ce que j'ai compris les différentes étapes :

1) Axiome d'Euclide (environ 300 av JC) : plan ce qui a longueur et largeur seulement.

On appel points les éléments de cette ensemble. Déjà la pour moi c'est pas clair ni même très rigoureux mais j'imagine bien l'idée car le but des axiomes c'est d'être le plus simple possible pour démarrer de quelque part sinon on remonte à l'infini donc on aurait jamais commencé à faire des maths.

2) On fixe un point O arbitraire du plan et à tout point M du plan on associe le déplacement entre O et M qu'on note \vec{OM}. L'ensemble des déplacements créent forment \usepackage{mathrsfs}\mathscr{V}

3) On définit la somme de deux déplacements : de O vers A puis de A vers B correspond au déplacement de O vers B. On introduit la notation + dans  \usepackage{mathrsfs}\mathscr{V} : \vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}

4) On prend 2 éléments \vec{AB} et \vec{CD} de \usepackage{mathrsfs}\mathscr{V} non colinéaire qu'on peut translater vers le point O en \vec{OE} et  \vec{OF} car ça sera le même déplacement et ainsi par je ne sais quel magie (je n'ai pas trouvé la preuve) on dit qu'on peut faire tout les déplacements possible en prenant un déplacement de même direction que \vec{OE} et un déplacement de meme direction que \vec{OF}

5) Et après seulement on introduit une bijection entre \usepackage{mathrsfs}\mathscr{V} et \mathbb{R}\times{R} pour pouvoir manipuler ces deux ensembles, où \mathbb{R}\times{R} est simplement un 2-uplets (ou simplement couple) de \mathbb{R} qui lui est définit autrement de manière axiomatique.

Posté par
carpediemre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 12:56

un point est un objet physique du plan ... comme une droite ou toute courbe quelconque

un vecteur n'est pas un objet physique du plan ... mais on peut en tracer une représentation physique (une flèche d'une certaine longueur)

et la preuve que ce n'est pas un objet physique c'est qu'on peut le tracer n'importe où ... du moment qu'on conserve ses caractéristiques


vous vous focaliser sur le mot plan ... il faut l'oublier

c'est simplement ici parce qu'on parle de couple !!

mais si on parlait de n-uplet on parlerait d'espace R^n et de dimension n

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 13:38

Pour le 4, c'est assez simple, si  \vec{OE} et  \vec{OF} sont tes vecteurs non-colinéaires, alors pour tout vecteur \vec{v}de \usepackage{mathrsfs}\mathscr{V}, il existe a,b\in \R tels que \vec{v}=a\cdot\vec{OE}+b\cdot \vec{OF}, c'est facile à montrer

Posté par
HacHre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 13:53

mousse42 en passant par la tu grillesdes  étapes et on arrive à une théorie ou pour montrer P1 on utilise P2 et pour montrer P2 on utilise P1.

Posté par
mousse42re : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 14:41

( clavier qwerty) ah, bon, tu parles de colinearite, donc le produit d un vecteur par un scalaire a ete defini.

Posté par
HacHre : Confusion entre point du plan, vecteur et couple de réel 14-09-19 à 16:08

La colinéarité à ce niveau la est défini comme étant 2 vecteurs \vec{u}et \vec{v} dont il existe 3 point A, B et C alignés tel que \vec{u} = \vec{AB} et \vec{v}=\vec{AC}

Mais j'ai trouvé ma réponse ça se base sur les axiomes d'Euclide. Il faut jongler entre les objet du plan et les vecteurs.

C'est seulement bien plus tard que tu peux démontrer ce que tu m'as dit en utilisant ce que je viens de démontrer et après avoir créer la bijection avec \mathbb{R}\times\mathbb{R} et ainsi redéfinire la colinéariter avec le scalaire. Tout cette histoire de sous espace vectoriel engendré par un vecteur à l'aide du scalaire c'est bien plus tard.


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