Ca ne marche pas avec une fraction, voyons!!

Bonjour,
En arithmétique, les nombres non entiers sont pour ainsi dire proscrits.
Dans ton exemple, 3ⁿ -10[7] peut se traduire par 3ⁿ -1 est divisible par 7 .
Par ailleurs 3ⁿ est impair ; donc 3ⁿ -1 est pair.
3ⁿ -1 est divisible par 7 et 2 qui sont premiers entre eux, donc par 14 aussi .
Cela permet de trouver ta congruence pour (3ⁿ-1)/2

Merci c'est très clair maintenant

De rien, et à une autre fois sur l'Ile

désolé j'ai une autre question quasi similaire dans un autre corollaire nous avons
ab[n]a^kb^k[n]       {k,n} {a,b}
comme k la racine carrée n'est pas applicable vue que dans le cas de la racine carrée  k=1/2
alors comment on résout des équations du genre n²9[7]

(n-3)(n+3)0   mod7    et comme 7 est premier.......

Bonjour lève-tôt,
Pour résoudre n² 9 [7] , une méthode est d'envisager tous les restes possibles dans la division de n par 9.
On peut présenter les 9 cas dans une table de congruences.
On sait déjà que, parmi les solutions, il y aura n 3 [7]

Bonjour Manny06,
Oui, beaucoup mieux la méthode avec factorisation !

bonjour,

la factorisation ne marche de façon aussi "visible" que dans les cas simples

n² 2 [7] ??
il faut être "un peu malin" pour voir que puisque 2 9 [7] on peut se ramener au cas précédent ..

mais n² 19 [31] ? (solution n 9 [31])

le cas général est donc bien plus compliqué que factoriser !
voir les mots clés :
résidus quadratiques
algorithme de Tonelli-Shanks (bien plus efficace que la méthode de "tous les restes possibles")
mais on dépasse le cadre de "Terminale spé maths"

c'est vrai que la méthode de factorisation est plus simple et plus brève dans ce cas, mais en général la méthode de Sylvieg me semble plus approprié
Comme les noms Tonelli-shanks et résidus quadratiques semble trop cool je vais y jeter un petit coup d'œil j'espère que c'est pas trop difficile   

Pour résoudre n² 7 [2015] , ma méthode n'est pas vraiment le top

pour des modules pas premiers, il faut en plus faire intervenir les restes chinois
mais ici cela va très vite :

2015 = 5×13×31
et donc il faut résoudre les trois équations
n² 7 [5]
n² 7 [13] et
n² 7 [31]

n² 7 2 [5] n'a pas de solutions (facile par les 4 essais n de 1 à 4)

et donc n² 7 [2015] n'a pas de solution
(question de vocabulaire : on dit que 2 n'est pas un résidu quadratique modulo 5)

Bon alors je fais un bon temporel de deux ans : n² 7 [2017]

ici la recherche systématique est encore le plus simple, à condition de la programmer sur calculette,
parce que un millier ou presque de calculs de carrés modulo 2017, à la main bof ...

avant de se lancer dans ces calculs on peut au moins chercher à savoir s'il y a des solutions !
c'est à dire si 7 est ou pas un "résidu quadratique" modulo 2017
cela revient en pratique à calculer le "symbole de Legendre" (détails théoriques omis)
attention, ça n'a rien à voir avec une division, c'est juste "comme ça que ça s'écrit"
la loi de réciprocité quadratique donne :



((2017-1)/2 = 1008 pair, puis 2017 1 [7])

et donc il existe une solution.
etc.

on trouve (un programme trouve avec le fameux algorithme de Tonelli-Shanks) n 845 [2017]
et bien entendu son "opposé" n -845 1172 [2017]

tout ceci dépassant largement, comme déjà dit, le programme de Terminale,
enfin la partie "résidus quadratique / symbole de Legendre / algorithme de Tonelli Shanks",
parce que écrire un programme de force brute qui balaye les 1000 et quelques valeurs candidates, c'est faisable, facile même,
et encore le plus efficace si le module est "relativement faible" : quelques milliers c'est "faible" même quelques centaines de milliers
en plus on n'a même pas besoin de s'enquiquiner avec module premier ou pas et restes chinois !

pourquoi suffit il de balayer seulement la moitié des valeurs ?
(indice : si n est solution, -n aussi)

Merci Mathafou,
Je fais cette fois un bond qualitatif dans mes connaissances
Et c'est une réponse remarquable à la curiosité de Vegapunk

Merci Mathafou,
laisse moi te dire déjà que tu as bien choisi ton nom et laisse moi un peu de temps pour digérer ça (un millier d'années ou plus).
   Tout ce que je sais, c'est que je ne sais rien.  Socrate  

Un résumé sur résidu quadratique et symbole de Legendre qui me semble abordable
Vegapunk, tu pourras y lire, qu'il y a quelques années, ta question a conduit à "une proposition qui fut longtemps un problème ouvert avant que Gauss ne la démontre"...

salut

j'avais failli intervenir avant mathafou .... à la remarque

Citation :
Pour résoudre  n² 7 [2015]  , ma méthode n'est pas vraiment le top

C'est bien ce que j'ai aussi signalé en disant que pour de faibles valeurs (avec un logiciel adapté, "faible" peut vouloir dire quelques millions, voire quelques milliards) l'algorithme par force brute suffira.

mais que si on veut aller plus loin (en cryptographie par exemple, avec des nombres entiers de l'ordre de la centaine de chiffres) il faudra effectivement sortir l'artillerie lourde

d'ailleurs comme d'hab l'artillerie lourde est complètement inadaptée si on a vraiment de très faibles valeurs :
c'est plus compliqué d'appliquer l'algorithme de Tonelli-Shanks avec un modulo de 5 que de balayer "brute" !!
(et même que de faire l'effort de calculer le symbole de Legendre , même si c'est "instantané" en appliquant le théorème adéquat : , 24/8 impair)