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Congruence : Décryptage d'un code
Bonjour à tous et à toutes.
J'ai quelques soucis pour résoudre un exercice sur les congruences. Pourriez vous m'aider ?
Partie A :
Dans cette partie je devais décoder un message que j'ai (je pense) avoir réussi.
Partie B :
On a la fonction de décodage g telle que f(n)=m équivaut à g(m)=n
1) a.) Montrer que 3n
m-2[26]
b.) Trouver p tel que 3p1[26] Je pense que c'est p=9
c.) Montrer alors que 3pnn[26], puis que np(m-2)[26]
d.) Montrer que si np(m-2)[26], alors 3n+2m[26] En déduire la fonction de LOISLCUO.
Pour cette question (1.d) je pense que :
np(m-2)[26]
3n3p(m-2)[26] et comme 3p1[26] On a : 3n+2m[26]
Par contre pour définir la fonction je suis perdu ... Doit elle avoir un lien avec la première partie ?
1. e.) Est ce que la fonction 
(n)=2n+1 peut être une fonction de codage ?
Voilà, j'espère que vous pourriez m'aider.
Merci, Guillaumedu13
Oui bien sur voilà l'énoncé complet :
A toutes lettre de l'alphabet on associe dans l'ordre un entier naturel de 0 à 25. A
0, B1,...,Z25
On code ensuite chaque nombre n par la fonction de codage f, tel que f(n) est le reste de la division par 26 de 3n+2. En voici un exemple : La lettre A devient f(0) = 2 et peut alors être codée par C. De même que P peut être codée f(15)= 47 (4721[26]) par la lettre V
Je pense avoir réussi la question 1.c)
Montrer que 3pnn[26], puis que np(m-2)[26]
Ma réponse :
On part de 3p1[26]
3pnn[26]
De plus 3nm-2[26]
3npp(m-2)[26] or on a montré que 3pnn[26]
Donc en définitive np(m-2)[26]
Cette réponse est elle correcte ?
1. a. La lettre à décoder correspond à m et m = f(n) reste de la division par 26 de 3 n + 2, donc 3 n + 2 ≡ m modulo 26
3 n ≡ m - 2 modulo 26
1. b. 3 × 9 = 27 donc 3 × 9 ≡ 1 modulo 26
1. c. 3 n ≡ m - 2 modulo 26 donc 9 × 3 n ≡ 9 (m - 2) modulo 26 soit n ≡ 9 (m - 2) modulo 26
2. Réciproquement si n ≡ 9 (m - 2) modulo 26 alors 3 n + 2 ≡ 3 × 9 (m - 2) + 2 modulo 26
3 n + 2 ≡ m - 2 + 2 modulo 26
3 n + 2 ≡ m modulo 26
La fonction de décodage est donc g(m) reste de la division de 9 (m - 2) par 26
L O I S L C U O
11 14 8 18 11 2 20 14
3 4 2 14 3 0 6 4
D E C O D A G E
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