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Congruence et divisibilité
Salut ! j'ai un problème sur deux questions d'un devoir
dont voici l'énoncé :
1/Justifier le critère de divisibilité suivant :
Un entier est divisible par 4 si et seulement si la somme
de son chiffre des unités et du double de son chiffre des dizaines
est divisible par 4 .
2/ Soit n un entier naturel et § un diviseur positif de n .
Déterminer que pour tout entier a , 1< ou = a , (a^n)-1 est divisible par (a^§)-1
.
Je ne comprends pas la question 1 et n'arrive pas à faire la question
2 . J'espère que tu pourras m'aider .
Meci d'avance !!!!
un entier N s'écrit a10^n+ ... +b.10²+c.10+d
( comme 24367=2.10^4+4.10^3+3.10²+6.10+7)
comme 10² est congru à 0 modulo 4 ( car 100=4fois25 )
alors 1000 qui vaut 10.100 est aussi cong 0 mod 4
et aussi 10 000
etc...
donc N cong c.10+d mod 4 ( car tout le reste est cong 0 mod 4)
pour 2) il faut utiliser X^k-1=(X-1)(X^(k-1)+X^(k-2)+...+X+1)
et si d divise n alors n=dk, donc a^n=(a^d)^k, et poser X=a^d
mais on a aussi 10 cong 2 mod 4
donc c.10 + d est congru à c.2 + d modulo 4
et pour finir N cong 2c+d mod 4 , ce qui était demandé
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