Bonjour,
J'ai quelques idées sur la question b)

a⁵-a
= a⁴ * a - a
= (a⁴-1) * a
Si a est pair, (a⁴-1) * a est pair aussi puisque a en est le facteur
Si a est impair, a⁴-1 est pair
Un nombre entier ne pouvant etre que pair ou impair, (a⁴-1) * a est forcément pair

  a(a⁴-1
= a(a²+1)(a²-1)
= a(a²+1)(a-1)(a+1)
On appelle n le reste de la division euclidienne de a par 5
si n = 0, (donc que a l'est aussi), tout l'espression l'est aussi
si n = 1, a-1 est multiple de 5, donc toute l'expression aussi
si n = 2 ou a = 3, a²+1 est multiple de 5, donc toute l'expression aussi
si n = 4, c'est a+1 qui est multiple de 5.

Donc quelque soit n, et donc quel que soit a, a(a⁴-1 est multiple de 5.

Puisque ce nombre est multiple de 5 et de deux à la fois, il est aussi multiple de 5*2 = 10

correction pour la question c!!
c) On considere deux entiers relatifs a>b tels que les entiers a^5 et b^5 aient le meme chiffre des unités . demontrer que a-b est divisible par 10 , et que a^2-b^2 est divisible par 20.

Personne pourrait m'aider pour les autres question merci! je dois le rendre demain merci encore!

a)Determiner le valeur du reste de la division euclidienne de a^n par 5.

si alors
si alors
si alors
si alors
si alors

En résumé :


Sauf erreur.

b)Demontrer que l'on a , (a^5)-a multiple de 10

si alors
si alors
donc

Donc 2 et 5 divisent .
Donc leur PPCM 10 divise .

Donc est multiple de 10

Sauf erreur.

c) On considere deux entiers relatifs a>b tels que les entiers a^5 et b^5 aient le meme chiffre des unités . demontrer que a-b est divisible par 10 , et que a^2-b^2 est divisible par 20.

"les entiers a^5 et b^5 aient le meme chiffre des unités" se traduit en :

Or on a vu que et, de même,
Donc , c'est-à-dire que est divisible par 10.

De plus, comme et , a et b ont comme et les mêmes chiffres des unités. Donc ils sont tous les deux pairs ou impairs. Donc leur somme est paire : 2 divise

Au total : 2.10 divise (a+b)(a-b)
20 divise

Sauf erreur.