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congruence et nombre premier

Posté par sih (invité) 26-10-05 à 11:42

bonjour, bah en fait j'ai une liste d'exercies à faire un pue tous dans le même genre mais je sais pas comment m'y prendre donc je voudrias bien un peu d'aide et que vs me montriez la démarche pour que je puisse la suivre avc les autres exercices:
Donc On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9+a^2 où a est un entier naturel non nul; par exemple 10=9+1^2; 13=9+2^2, ect...
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.
1) Etude de l'équation d'inconnue a:
             a^2+9=2^n où a appartient à N, n> ou égal à 4
a) montrer que si a existe, a est impair
b) en raisonnant modulo 4, monter que l'équation proposée n'a pas de solution.
2) Etude de l'équation d'inconnue a:
             a^2+9=3^n où a et n appartienent à N, n> ou égal à 3
a) montrer que si n> ou égal à 3, 3^n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.

Ensuite j'ai une autre démonstaration à faire:
Soit p un nombre premier strictement plus grand que 2. Démontrer que p est congru à 1 ou -1 modulo 4.
On suppose que les nombres premiers p congru à -1 modulo 4 sont fini.
Soit n le nombre des nombres premiers congrus à -1 modulo 4, notons A=p1p2...pn le produit de ces nombres et B=4A-1
montrer que B est congru à -1 modulo 4.
Soit q un diviseur prmeier de B. montrer que q distinct de chacun des nombres p1, p2, ... pn précédents.
Montrer que parmi les diviseurs premiers de B l'un au moins est congru à -1 modulo 4.
Bah merci de votre aide en avance et je vais continué à chercher (on sais jamais si je trouve mais ca m'étonnerait).

Posté par
cinnamonre : congruence et nombre premier 26-10-05 à 11:43

Salut,

Quelles sont les questions qui te posent problème ?

Posté par sih (invité)re : congruence et nombre premier 26-10-05 à 12:18

en fait bah c surtout la 1 et la 2 aprés pour la dméonstration sur le nombre premier je pense pouvoir men sortir en reflechissant encore

Posté par
cinnamonre : congruence et nombre premier 26-10-05 à 12:38

La 1)a) est évidente :

2^n est pair donc si a existe a^2+9 est pair. Donc a^2 est impair (puisque la somme de deux impairs est paire). Donc a est impair.

Pour la 1)b),

Pour n=0, 2^0=1 , donc on doit avoir a^2+9 = 1, donc a^2 =-8 ce qui est impossible.

Pour n=1, 2^1=2, donc on doit avoir a^2=-7 ce qui est toujours imposssible.

Pour n \ge 2, 2^n \eq 0 [4].
De plus, 9 \eq 1 [4].
Donc on doit avoir a^2 +1 \eq 0 [4].

Mais on sait que a est impair donc a \eq 1 [4] ou a \eq -1 [4]. Dans les deux cas, a^2 \eq 1 [4], donc a^2+1 \eq 2 [4].


Donc si a existait on aurait a^2 + 1 \eq 2 [4].  

Donc cette équation n'admet pas de solution.



Posté par
cinnamonre : congruence et nombre premier 26-10-05 à 12:42

En fait je suis allée un peu trop vite dans la conclusion...


Donc si a existait on aurait 2 \eq 0 [4], ce qui est absurde.

Donc un tel a n'existe pas et cette équation n'admet pas de solution.

Voila

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 27-10-05 à 20:43

je ne comprends pas
Donc si a existait on aurait , ce qui est absurde.

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 27-10-05 à 20:50

en fait je ne comprends pas l absurdite pourrais vous m expliquer

Posté par sih (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 12:26

Merci Cinnamon de ton aide, ca ma pas mal aiDer même si jai pas tout à fait suivi ta méthode mais j'aurias encore besoin d'aide pour la question MOntrer que parmi les diviseurs premiers de B, l'un au moins est congru à -1 modulo 4, dans la deuxième parti de l'exercice
Toute aide est la bienvenue
Merci en avance

Posté par
cinnamonre : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:11

Je t'en prie sih .

En ce qui concerne ma méthode, les cas n=0 et n=1 sont inutiles puisqu'on te dit que n\ge 4 (je n'y avais pas fait attention)...

En ce qui concerne le raisonnement que j'ai suivi, j'ai fait un raisonnement par l'absurde.
J'ai supposé que a existait et j'ai montré que cela conduisait à une aberration (puisque 2 \neq 0 [4] !). Donc a n'existe pas.



Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:19

sih as tu reussi a repondre a cette question?
b) en raisonnant modulo 4, monter que l'équation proposée n'a pas de solution.

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:21

2^n n est pas congru a 0mod4 mais a 2mod 4 non?

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:29

c est la alors pourrais tu m expliquer s il te plait pcq tu dis que tu as ete trop vite...

Posté par
cinnamonre : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:30

Qu'est ce que tu ne comprends pas ?

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:31

Donc si a existait on aurait a²+1 congru a 2mod4

Donc cette équation n'admet pas de solution.
commen tu conclu ca?

Posté par
cinnamonre : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:34

Si a existait, on aurait a^2 +1 = 2^n.

Or pour tout n \ge 2, 2^n \eq 0 [4] et pour tout a impair a^2+1 \eq 2 [4].


0 \neq 2 [4] donc a n'existe pas.

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:36

mais je ne comprends pas pouruqoi 2^n est congru a 0mod4?

Posté par
cinnamonre : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:38

Parce que 2^n est un multiple de 4...

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:40

bon ok
c est compris
maintenant j ai a²+9=3^n
j ai montre que si a existe alors il est pairs mais comment deduire que n est necessairement pair

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:42

mais d habitude on dit que si 2 ets congru a 2modulo 4
en elevant a la puissance n on eleve egalement 2 a la puissance n donc 2^n serait egalement congrus a 2^nmod 4

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:51

bon pour 2^n c est vraiment compris mais pour le reste non

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:56

pourquoi parle tu de a²+1 alors que c est a²+9?

Posté par
cinnamonre : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:58

9 \eq 1 [4] donc ça revient exactement au même.

D'ailleurs je l'ai dit dans ma démo.

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 18:59

peux tu me dire s il te plait comment faire pour montrer que necessairement n est pair??

Posté par
cinnamonre : congruence et nombre premier 31-10-05 à 19:00

n n'est pas nécessairement pair... Il a le droit d'être ce qu'il veut pourvu qu'il soit \ge 4.

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 19:01

pourtant on me demande de montrer que si a existe alors il est pair pour a²+9=3^n et n>3 et donc deduire que n est pair

Posté par bashkara (invité)re : congruence et nombre premier 31-10-05 à 19:03

ce n est pas pour la meme equation....desole je n avais pas bien du m exprimer et preciser


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