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congruences et suite

Posté par
Night13 27-01-24 à 11:36

Bonjour,
On considère la suite (u_n) d'entiers naturels définie par :
u_0 = 14
u_n+1 = 5u_n-6 pour tout entier naturel n
J'ai besoin d'aide pour la question suivante :
Montrer que pour tout entier naturel n, u_{n+2} \equiv u_n\pmod{4}

Voici ce que j'ai commencé à faire :
Il faut montrer que u_{n+2} - u_n = 4k avec k appartenant à Z.
u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6.
Je ne sais pas trop comment aboutir..
Merci pour votre aide

* Modération > Balises LaTeX ajoutées. Faire "Aperçu"  avant de poster est utile *

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruences et suite 27-01-24 à 11:47

Bonjour,
Continue en remplaçant un+1 par son expression en fonction de un.

PS le bouton "X2" sous la zone de saisie est assez pratique

Posté par
Night13re : congruences et suite 27-01-24 à 11:57

un+2 = 5un+1 - 6
un+2 = 5(5un-6)-6
un+2 = 25un-30-6
un+2 =  25un-36
un+2 = (6*4+1)un-9*4
un+2 = (4k+1)un-4k' avec k = 4 et k' = 9
un+2 = 4kun+un-4k'

D'où u_{n+2} \equiv u_n \pmod{4}

Posté par
Night13re : congruences et suite 27-01-24 à 11:58

k = 6, pardon.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruences et suite 27-01-24 à 12:18

Oui
Comme il s'agit en fait de démontrer un+2 - un 0 (mod 4), on peut à un moment faire apparaître un+2- un :
un+2- un = 24un - 36.
Puis factoriser par 4 sans parler de k ni de k'.

Posté par
Night13re : congruences et suite 27-01-24 à 12:29

Ah oui je vois, c'est beaucoup plus clair de cette façon.

un+2-un
= 5un+1-6-un
= 5(5un-6)-6-un
= 25un-30-6-un
= 24un-36
= 4(6un-9)
D'où u_{n+2} \equiv u_n \pmod{4}
C'est mieux comme ça ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruences et suite 27-01-24 à 13:33

Posté par
Night13re : congruences et suite 27-01-24 à 17:06

Rebonjour,
Merci.

(Je pense que je peux continuer à poser une question sur ce topic car ça concerne le même exercice et c'est en lien avec cette question.)

En déduire que pour tout entier naturel k, u_{2k} \equiv 2 \pmod{4} et u_{2k+1} \equiv 0 \pmod{4}

Je ne sais pas du tout comment en déduire. Auriez-vous quelques pistes pour me débloquer ?

Merci

Posté par
carpediemre : congruences et suite 27-01-24 à 17:17

salut

il suffit de partir de u_0 et de u_1 (à calculer) et d'utiliser la relation précédente

Posté par
Night13re : congruences et suite 27-01-24 à 18:24

u0 = 14
u1 = 5u0-6 = 5*14-6 = 64.

Or 14 = 4*3+2
et 0<=2<4, d'où u_{0} \equiv 2 \pmod{4}

et 65 = 4*16
et 0<=0<4, d'où  u_{1} \equiv 0 \pmod{4}

Et après je généralise ?

Posté par
carpediemre : congruences et suite 27-01-24 à 18:30

ben qu'as-tu montré à la question précédente ?

Posté par
Night13re : congruences et suite 27-01-24 à 18:38

J'ai montré que : u_{n+2} \equiv u_n \pmod{4}

Je ne vois pas comment l'appliquer ici. Je pourrais si j'avais u2 et u0 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruences et suite 27-01-24 à 19:05

Je suis revenue pour peu de temps.

Tu as trouvé ceci : u_{0} \equiv 2 \pmod{4}
Peux-tu en déduire, en utilisant la question précédente, u2 puis u4 modulo 4 ?

Posté par
Night13re : congruences et suite 27-01-24 à 19:19

u_{2} \equiv u_0 \pmod{4}
d'où u_{2} \equiv 2 \pmod{4}

u_{4} \equiv u_2 \pmod{4}
d'où u_{4} \equiv 2 \pmod{4}

u_{3} \equiv u_1 \pmod{4}
d'où u_{3} \equiv 0 \pmod{4}

u_{5} \equiv u_3 \pmod{4}
d'où u_{5} \equiv 0 \pmod{4}

Ainsi les relations semblent vérifiées :
u_{2k} \equiv 2 \pmod{4} et u_{2k+1} \equiv 0 \pmod{4}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruences et suite 27-01-24 à 19:22

Si tu penses que ce n'est pas assez clair, fais une récurrence.

Posté par
Night13re : congruences et suite 27-01-24 à 19:28

J'ai cru comprendre qu'à partir d'exemples on ne peut pas réellement prouver une relation.
Je vais partir sur une récurrence alors, mais ça ne répondra plus vraiment à la question parce qu'on me demande juste d'en déduire ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : congruences et suite 27-01-24 à 20:34

"en déduire" signifie ceci :
Démontrer en utilisant ce qui précède.

Posté par
carpediemre : congruences et suite 27-01-24 à 20:40

quand k décrit N 2k ne décrit-il pas les entiers pairs ? et 2k + 1 les entiers impairs ?

je reviens sur la première question en passant :

u_{n + 1} = 5u_n - 6 \Longrightarrow u_{n + 1} \equiv u_n - 2 \equiv u_n + 2  [4]

donc u_{n + 2} \equiv u_{n + 1} + 2 \equiv u_n + 2 + 2 \equiv u_n  [4]

Posté par
Night13re : congruences et suite 28-01-24 à 09:06

Bonjour,

Si, effectivement.

Je ne comprends pas trop votre raisonnement pour la première question. D'où viennent les 2 ?

Posté par
carpediemre : congruences et suite 28-01-24 à 11:38

6 = 4 + 2 ...


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