ahhh! please help me.....je suis mal sans cet exo.....

ce serait assez sympa de m'aider avant le coucher du soleil.....!

1.

le reste de la division de 2^1 par 7 est 2
le reste de la division de 2^2 par 7 est 4
le reste de la division de 2^3 par 7 est 1
le reste de la division de 2^4 par 7 est 2
le reste de la division de 2^5 par 7 est 4
....etc.....
Soit k un entier naturel
Donc si n = 3k, alors le reste de la division de 2^n par 7 est 2
Donc si n = 3k-1, alors le reste de la division de 2^n par 7 est 4
Donc si n = 3k-2, alors le reste de la division de 2^n par 7 est 1

2. si n n'est pas divisible par 3 alors n=1[3] ou n =2[3].
Si n = 1[3] alors il existe un entier naturel k tel que  n = 3k+1
2^2n + 2^n + 1
= 2^2(3k+1) + 2^(3k+1) +1
= (2^(3k+1))^2 + 2^(3k+1) + 1         (1)

Or 2^(3k+1)=2^(3k)x 2 et comme 2^(3k)=2[7] on a
2^(3k+1)= 4[7]

De l'équation (1), on en déduit que :
(2^(3k+1))^2 + 2^(3k+1) + 1 = 4²+4+1 = 21[7].
Or 7 divise 21 donc
(2^(3k+1))^2 + 2^(3k+1) + 1 = 0[7]
ce qui signifie que
2^2n + 2^n + 1 est divisible par 7.

Meme raisonnement avec n=2[3].

1) 2=2 mod(7)
   2²=4 mod(7)
   2^3=1 mod(7)

et en général
2^n=2 mod(7) si n=1 mod(3)
2^n=4 mod(7) si n=2 mod(3)
2^n=1 mod(7) si n=0 mod(3) ; si 3 divise n

2) posez Ak=(2^(2k))+(2^k)+1

en multipliant Ak par ((2^k)-1)

vous obtenez:

Ak.((2^k)-1)= (2^(3k)) - 1

comme 3k=0 mod (3) donc (2^(3k))=1 mod (7); d'après 1.

donc (2^(3k))-1 = 0 mod (7);

donc 7 divise Ak.((2^k)-1)

comme 3 ne divise pas k donc :
(2^k)= 2 mod(7) ou (2^k)= 4 mod(7)

donc

(2^k)-1= 1 mod(7) ou (2^k)-1= 3 mod(7)

donc si 3 ne divise pas k 7 ne divise pas (2^k)-1

comme 7 divise Ak.((2^k)-1)

donc 7 divise Ak.

voila bon courage