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Congruences: reste dans la div. eucli. de 2^n par 7 et par 10
Bonjour. Je viens de trouver des exercices dans un livre mais je n'arrive pas à les résoudre. Pouvez vous m'aider?
On veut étudier les restes dans la division euclidienne de 2^n par 7, pour tout entier naturel n
1. Compléter le tableau des restes de 2^n dans la division par 7 pour n<= 10.
=> Pour n = 0, n=3, n=6 et n=9 , le reste est 1.
Pour n=1, n=4, n=7 et n=10, le reste est 2.
Pour n=2, n=5 et n=8, le reste est 4.
2. Conjectuer un résultat général sur le reste de 2^n dans la division euclidienne par 7.
=> On trouve 1, 2 et 4.
3. Montrer que pour tout entier naturel n : 2^(n+3) = 2^n [7]
=> J'ai réussi.
4. En déduire les restes dans la division euclidienne par 7 de 2^n pour tout entier naturel n.
Je bloque sur la déduction à partir de 2^(n+3) = 2^n [7].
5. Etudier en suivant la même démarche, le chiffre des unités de 2^n pour tout entier naturel n. (Ce qui revient à étudier les restes dans la division euclidienne de 2^n par 10).
Je ne sais pas quoi faire à cette question...
J'espère que vous pourrez m'aider ! 
Bonsoir.
La question 3 est en fait l'hérédité d'une récurrence immédiate, qui montre que :
si n est multiple de 3, alors le reste est 1
si n est congru à 1 modulo 3, alors le reste est 2
sinon le reste est 4, ce qui se vérifie bien avec tes exemples de la question 1.
Avec des premiers exemples, on voit que les premières puissances de 2 modulo 10 sont congrues à 2,4,8,6,2,4,8,6,...
On se dit donc qu'il n'y a que 2, 4, 8 et 6.
Et pour cause, on peut montrer que 2^(n+4) est congru à 2^(n) modulo 10.
WilliamM007,
Je ne comprends pas très bien votre explication : "si n est congru à 1 modulo 3, alors le reste est 2".
Et tout le reste, comment le montre-t-on?
Merci de m'avoir répondu en tout cas
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