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Coniques dans l'Espace
Bonsoir,
voici l'énoncé d'un exercice que je arrive pas à résoudre sur les coniques:
On fixe un repère ortonormé (O,
,
,
) de 
et on considère F={M(x,y,z)
/ z2=x2+y2} ainsi qu'un plan Q d'équation ax+by+cz+d=0
1) Que peut-on dire de F
Q?
là j'ai bien démontré que c'est une conique
2) Déterminer toutes les nature possibles de QF
Dans chacun des cas obtenus, on établira une condition nécessaire et suffisante de nature géométrique sur Q pour être dans ce cas précis.
Je sais comment sont les différentes intersections mais je ne sais pas comment montrer par calcul.
J'ai commencé par calculer 
j'ai = 4a2b2-4(a2-c2)(b2- c2)
puis on fait une disjonction des cas selon la valeur de
Donc =0
c=0 on aurait alors une intersection de type parabole (donc parabole, ou un point, ou 2 droites)
On se place donc dans un plan d'équation ax+by+d=0
là j'imagine qu'il faudrait trouver les différentes équations réduites non?
mais je ne sais pas comment faire..
MErci d'avance
J'ai commencé par calculer
C'est quoi
?
En math'sup on sait que
est une lettre parfois utilisée pour désigner des droites, parfois pour désigner un discriminant, parfois même pour désigner des affirmations ou des points.
On ne parle pas de
ni de quelqu'autre lettre d'ailleurs avant d'avoir dit de quoi il s'agissait !
Si tu fais référence au discriminant d'une équation du second degré à une inconnue, on pourrait avoir envie de savoir de quelle équation il s'agit, non ?
Moi, je vois l'équation d'un cône de révolution : x²+y²=z² et l'équation d'un plan ax+by+cz+d=0, mais aucune équation du second degré à une inconnue. On peut en imaginer au moins trois ! Pourquoi donc ne pas avoir mentionné de quelle équation il s'agit ?
En outre, si c=0 entraîne
=0 la réciproque est fausse ! De =0, tu ne peux déduire que c=0 ! Il suffit en effet que c²=a²+b² pour que ton soit nul !
De toutes manières, la première chose à faire et de détailler tes calculs ! D'où sors-tu ton
?Excusez-moi, je n'ai pas été clair 
1)FQ :
Donc on a
C'est bien l'équation d'une conique.
D'ailleurs, est-ce qu'il faudrait montrer la réciproque?
Parce que quand j'ai élevé c'est un implication...
2)On calcule le discrimante de
=
Donc si c=0=0
(a²-c²)x²+(b²-c²)y²+2abxy+2adx+2bdy+d²=0
C'est bien l'équation d'une conique.
Certes ! Cela prouve que la projection sur un plan perpendiculaire à 0xy de la courbe trouvée dans l'espace est une conique. Est-ce que cela prouve que la courbe de l'espace est une conique ? Je ne crois pas ! Sauf si tu fais référence à un théorème de ton cours qui dirait que
"l'intersection d'un cylindre dont la base est une conique avec un plan non parallèle à
sa directrice est une conique"
Ce théorème est vrai (enfin je le suppose, cela me paraît raisonnable), mais es-tu censé le connaître ?
Bon, apparemment, tu parles du discriminant de cette forme quadratique ! Fallait le dire !
Donc si c=0
=0Je dirais plutôt "c=0
=0" (le "si" est de trop !) Là je suis d'accord ! Quelle est ta conclusion ? Et n'oublie pas que si c²=a²+b² alors =0 !"l'intersection d'un cylindre dont la base est une conique avec un plan non parallèle à sa directrice est une conique"
Je ne comprend pas pourquoi vous parlez d'un cylindre. z^2=x^2+y^2 n'est pas l'équation d'un cône de révolution?
En fait mon idée, c'était de trouver les différentes équations de Q selon les valeurs de
. Ce qui se pourrait traduire géométriquement.Je ne comprend pas pourquoi vous parlez d'un cylindre. z^2=x^2+y^2 n'est pas l'équation d'un cône de révolution?
Si z^2=x^2+y^2 est bien l'équation d'un cône de révolution
Je dis que l'équation (a²-c²)x²+(b²-c²)y²+2abxy+2adx+2bdy+d²=0 est certes l'équation d'une conique, mais il s'agit de l'équation de la projection orthogonale de la courbe dans l'espace que tu étudies, sur le plan x0y ! Donc cette projection est bien une conique, mais la courbe que tu étudies ne se trouve pas sur le plan xOy ! Comment comptes-tu démontrer que la courbe intersection du plan et du cône de révolution serait une conique ? Tout ce que tu as prouvé, c'est que la projection de cette courbe sur le plan xOy, ou sur tout autre plan parallèle au plan xOy est bien une conique ; je suis d'accord là-dessus !
Comment pourrais-tu dire que (a²-c²)x²+(b²-c²)y²+2abxy+2adx+2bdy+d²=0 est l'équation de ta courbe alors qu'il n'y a même pas de z dans ton équation ? Les points de ta courbe sont-ils tous à une même cote z ?
Oui, j'ai une idée !
Tu dois déterminer l'équation de ta courbe dans son plan ! Pour cela trouver un moyen de définir un repère orthonormé dans le plan de ta courbe et dans ce repère de déterminer l'équation de ta courbe. Ainsi, tu pourras effectivement affirmer que cette courbe dans l'espace est bel et bien une conique !
Ok merci 
Alors je peux prendre le repère orthonormé (
,
(
),
()), déterminer un pour éliminer les XY et trouver les différentes équation réduites non?
Ben, il faut se rendre compte que l'intersection de ton cône avec un plan donné est exactement identique à l'intersection de ton cône avec le plan qui serait l'image du premier plan par une rotation d'axe l'axe de ton cône.
Par conséquent, ce n'est pas réduire la généralité de l'étude que de se restreindre à un plan dont la normale serait parallèle au plan yOz (par exemple). Donc la normale à ton plan, tu peux la contraindre à être un vecteur . En outre, pour raison de symétrie, tu peux te restreindre également à
(le cas
étant un cas particulier à traiter à part)
Ton plan serait alors le plan normal à ce vecteur , qui passerait par le point (0,p,0), p étant un paramètre.
En faisant varier p dans et
sur
tu auras alors tous les cas sauf cas particuliers.
Pour , tu devras définir ton plan comme passant par le point (0,0,p) (
)
Les deux vecteurs du plan servant de repère dans le plan pourraient être : et
Qu'en penses-tu ?
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