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Niveau maths sup
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coniques (equation avec X*Y)

Posté par gtaman (invité) 27-11-05 à 20:01

bonsoir a tous, j'ai besoin de vous,question de vie ou de mort!lol. non sans blague,voici mon probleme

pour la conique suivante,donner sa nature,ses caractéristiques(axe,foyer,....)
2x²+xy+y²+4x-y-2=0

je sais qu'il faut qu'on fasse un changement de repere par rotation mais je ne sais pas comment on fait.kelkun pourrait il m'expliquer svp c'est tres important!merci d'avance à tous
bonne soirée
gtaman

Posté par hermanono (invité)re : coniques (equation avec X*Y) 27-11-05 à 20:17

En gros tu dois faire ça:

vu que les cooefficents devant x^2 et y^2 sont différents
ton angle de rotation sera égale = 1/2 arc tan 2

d'ou tu remplace x= X*cos téta - Y*sin téta  et y= X*sin téta + Y*cos téta  dans ton équation

Et t'obtient une nouvelle équation du type ax^2+cy^2+2dx+2ey+f=0
et tu fait une étude habituelle de conique en mettant sous forme de deux carrés....

@+, bon courage

Posté par gtaman (invité)re : coniques (equation avec X*Y) 27-11-05 à 20:23

merci pour la rapidité hermano,mais ton angle téta c'est 1/2 arctan2 c'est bien ça? mais comment tu sais que c'est celui la??? ya pas une formule ou un truc du genre pour le trouver quelque soit les coef?

Posté par gtaman (invité)re : coniques (equation avec X*Y) 27-11-05 à 21:19

Posté par
geo3
re : coniques (équation avec x*y) 27-11-05 à 22:00

Bonsoir.
Il faudrait savoir ce que tu as reçu comme cours théorique.
Le "truc" comme tu dis est que le nouveau coefficient de X*Y doit être nul =>
la formule seulement  dans le cas d'une conique à centre ( ici on a une hyperbole)
Moi je dirais que l'angle de la rotation est tel que
tan(2.) = coefficient de xy / (celui de y² - celui de x²) =>
ici  tan(2.) = 1 => 2= 45° ...
et puis tu suis les conseils d'hermanono.
A plus.

Posté par
piepalm
re : coniques (equation avec X*Y) 28-11-05 à 14:09

Un petit truc, que j'ai déjà exposé ici, venant de la géométrie projective:
La nature d'une conique se détermine très simplement en examinant le trinôme des termes de plus haut degré ax²+bxy+cy², et en calculant son discriminant b²-4ac. S'il est positif, le trinôme a deux racines réelles et la conique est une hyperbole (la factorisation du trinôme donnant ses directions asymptotiques) ; s'il est nul, le trinôme a une racine double, et la conique est une parabole dont la racine donne la direction de l'axe; enfin, s'il est négatif, pas de racines réelles, et on est en présence d'une ellipse.
On peut même aller plus loin pour les coniques à centre, mais cela peut déconcerter certains...
Ayant factorisé le terme de plus haut degré sous la forme a(x-ry)(x-sy) (où r et s sont les racines, réelles ou imaginaires, du trinôme) on peut poser X=x-ry+p, Y=x-sy+q en déterminant p et q pour que l'équation de la conique devienne XY=k
(x-ry+p)(x-sy+q)=x²-(r+s)xy+rsy²+(p+q)x-(ps+qr)y+pq (il suffit d'identifier)
Si les racines sont réelles, on retrouve l'équation d'une hyperbole avec ses asymptotes comme axes de coordonnées; si elles sont imaginaires,... une ellipse n'est qu'une hyperbole imaginaire!)
X=Y=0 est alors le centre de la conique et X=Y et X=-Y ses axes



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