Bonjour,

tout d'abord il faut montrer qu'elle est décroissante et minorée. Alors on pourra conclure que cette suite converge. (sans dire vers quel réel!)
puis on dit que si elle converge vers l quand n tend vers l'infini; alors Un tend vers l et U(n+1) tend également vers l; donc l vérfie:
l = ln(1+l)
soit encore:
l = 0

Montrons qu'elle converge:
* Soit Pn:"
Po est vraie: Uo=1 >0
Supposons Pn vraie au rang n, cad:  
alors
et
la proposition est alors vraie au rang (n+1).
On en déduit que la propostion est vraie pour tout n:
pour tout entier n:

Autrement dit, Un est minorée par 0.

Tu as montré qu'elle éatit décroissante donc plus aucune pb.

Joli! Ca me plaît ça
Par contre j'ai besoin d'une ou deux précisions. Au sujet du supérieur ou égal. Je ne suis jamais trop sûr de ce que l'on a le droit d'écrire ou pas. Comment est-ce qu'on peut écrire Un0 alors que l'on démontre justement que la suite converge vers 0 et qu'elle n'atteint donc jamais cette valeur? Est ce qu'on ne devrait pas écrire Un>0?

"on dit que si elle converge vers l quand n tend vers l'infini; alors Un tend vers l et U(n+1) tend également vers l; donc l vérfie:
l = ln(1+l)
soit encore:
l = 0"
Peut on utiliser ce raisonnement pour démontrer la convergence de la plupart des suites (qui le sont, convergentes...), du moment qu'elles sont d'une forme =...Un... (terme général)?

Réponse aux précisions:

* le signe n'a peu d'importance, il se peut que la limite soit atteinte ou non. (dans ce cas la limite n'est aps atteinte donc tu peux utiliser >0). C'est une limite, cad que la suite tend vers 0, ses valeurs se "rapprochent " de 0, mais ne valent pas forcément 0. (tu vois la nuance?) c'est comme la suite 1/n qui tend vers 0 mais ne vaut jamais 0!

* Effectievemtn pourune suite définie par, on peut dire que si elle converge, alors sa limite est un point fixe de f, cad:
l = f(l)...et on déterminer l.

il y a bien un si, donc il faut toujours montrer qu'elle converge (croissante majorée ou décroissante minorée...) et enfin, il se peut aussi que l ne soit pas dans l'encadrement des valeurs prises par U et dans ce cas, f ademt un point fixe, mais U ne cv pas (il faut un exemple pour que tu comprennes).

"que la suite converge vers 0 et qu'elle n'atteint donc jamais cette valeur"

Déjà c'est faux, une suite peut converger vers 0 et être égale à 0 une infinité de fois.

"Est ce qu'on ne devrait pas écrire Un>0"
Dans ce cas précis c'est juste, mais je ne vois pas ce que ca apporte.
Ensuite Un>0 n'implique pas que l>0 mais uniquement que l est supérieur ou égal à 0. (exemple Un=1/n)

"Peut on utiliser ce raisonnement pour démontrer la convergence de la plupart des suites (qui le sont, convergentes...), du moment qu'elles sont d'une forme =...Un... (terme général)?"

Oui et non.
Dans le cadre général la répose serait non.
Par contre si U(n+1)=f(U(n)) avec f qui est continue au voisinage de la limite l alors ce sera vrai.
Au lycée, pour 99.99% ca sera le cas.
Hier il y'a eu une question sur une suite qui était:
U(n+2)=1.5U(n+1)-0.5U(n)
et dans ce cas ca marche mais on trouve
l=l et en fait on en tire aucune information.

Attention Dolphie, si f n'est pas continue autour de ton point fixe, que peux tu conclure?

"Déjà c'est faux, une suite peut converger vers 0 et être égale à 0 une infinité de fois."
Je ne comprends pas cela. Si la valeur vers laquelle une suite converge est sa limite en +oo, puisque l'on n'atteint jamais +oo, on atteint jamais cette valeur... Où est mon erreur? Peux tu me donner un exemple?

Que penses tu de:

U(n)=0

V(n)=(1+(-1)^n)/(2n)

etc

Oui bien sur otto f doit etre continue.

Mais en terminale les suites qu'on lui proposera définie par une fonction, seront continues.

ohhh!!!