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Conjecture d'une suite
Bonjour , j'ai un exercice sur les suites à faire et je bloque un peu , le voici :
"On considère la suite ( Un ) définie par U0 = 4 et pour tout entier naturel n par Un+1 = Un+2n+5
1)Etudier la monotonie de cette suite
2)Conjecturer une expression de Un en fonction de n.Démontrer par récurence la propriété conjecturée."
Pour la question 1 , pas de problèmes , j'ai fait Un+1 - Un = 2n+5 , or comme n 
0 , alors 2n 0 donc 2n+5 5.De plus , comme Un+1 - Un 0 , alors Un est croissante.
C'est sur la question 2 que je bloque , je n'arrive pas a conjecturer une expression de Un en fonction de n.J'ai bien remarqué que Un+1 = 3Un+5 mais je n'arrive pas à trouver d'expression qui fonctionnent.Il y a juste ça qui me gene car je pense que des que j'aurais l'expression , je n'aurais pas de mal a démontrer par récurence.
Merci pour votre aide.
les premiers termes sont :
4
11
20
31
44
59
76
95
116
139
164
191
220
251
ce qui laisser que Un = (n+2)2 + 2n
Merci , je viens de confirmer une fois de plus mon étourderie car a la place de multiplier par n , je multipliait par Un , alors que jais tres bien que ce n'est pas du tout pareil.Encore une fois merci , je devrais pouvoir finir l'exercice.
En fait , je bloque encore , pour démontrer par récurence la propriété conjecturée , je fais ceci :
Initialisation :
Pour n0 = 0 , on a
Un0 = (n0 + 2)2 + 2 n0
U0 = (0+2)2 + 2*0
= 2²
U0 = 4
Heredité :
Considérons un entier n , n 0 , tel que Un = (n+2)²+2n et montrons que Un+1 = Un+2n+5
Par hypothese de récurence , on a :
Un+1 = (n+1+2)²+2(n+1)
= [(n+2)+1][(n+2)+1]+2(n+1)
= (n+2)²+(n+2)+(n+2)+2+2(n+1)
= (n+2)²+2(n+2)+2+2(n+1)
= (n+2)²+2n+4+2+2n+2
Un+1 = (n+2)²+2n+2n+8
Donc je retrouve (n+2)²+2n qui est égal à Un , ensuite je retrouve le 2n mais j'ai 8 au lieu de 5.
Ai-je fais une erreur ou est ce que c'est l'ennoncé qui est mauvais ?
Merci.
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