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Conjecture d'une suite

Posté par
yoyotokuko
18-09-14 à 17:47

Bonsoir,
Je dois conjecturer l'expression de un en fonction de n.

Voici la suite: u(n+1)=u(n)+n
u0=1

J'ai dû calculer les 5 premiers termes de la suite:
u0=1
u1=2
u2=4
u3=7
u4=11

Après ça, je remarque que:
u0 u1 : +1
u1 u2 : +2
u2 u3 : +3
u3 u4 : +4

Mais à partir de ça, je ne vois pas comment faire. Pourrais-je avoir un petit aiguillage, merci.

Posté par
littleguy
re : Conjecture d'une suite 18-09-14 à 17:57

Bonjour,

Pas facile d'emblée de conjecturer. Tu peux placer les premiers points (n ; un) dans un repère et t'inspirer de ceci : Suite et Récurrence

Sinon, une autre méthode on permet de trouver directement sans conjecture.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Conjecture d'une suite 18-09-14 à 18:07

attention, tes termes sont faux, U1=U0+0=1 ; U2=U1+1=2, etc ...

Si tu la trouves pas spontanément (ce que je comprends), tu peux la trouver par le calcul en écrivant la formule
Un - Un-1 = n-1 pour tous les n,
Un-1-Un-2 = n-2
-------
U2-U1 = 1
U1-U0 = 0
_______________________________________ et puis tu ajoutes toutes ces équations membre à membre. tous les termes se simplifient sauf Un et U0 et donc ça donne :

Un-U0 = 1+2 +...+(n-2)+(n-1) mais ça c'est une somme de termes d'une suite arithmétique et une formule connue, ça vaut n(n-1)/2

et donc au final on trouve Un = 1 + n(n-1)/2 comme formule

Posté par
littleguy
re : Conjecture d'une suite 18-09-14 à 18:09

Bonjour Glapion

Voilà la méthode directe (dans tous les coups ! )

Posté par
Glapion Moderateur
re : Conjecture d'une suite 18-09-14 à 18:19

Oui littleguy, je n'avais pas vu que tu avais déjà répondu quelque chose (parce que j'ai mis un moment à comprendre pourquoi ma formule ne donnait pas les valeurs qu'il avait trouvé, et à me rendre compte que ses valeurs étaient fausses).

Posté par
yoyotokuko
re : Conjecture d'une suite 18-09-14 à 18:27

Citation :
Un - Un-1 = n-1 pour tous les n,
Un-1-Un-2 = n-2
-------
U2-U1 = 1
U1-U0 = 0
_______________________________________ et puis tu ajoutes toutes ces équations membre à membre. tous les termes se simplifient sauf Un et U0 et donc ça donne :

Un-U0 = 1+2 +...+(n-2)+(n-1) mais ça c'est une somme de termes d'une suite arithmétique et une formule connue, ça vaut n(n-1)/2

et donc au final on trouve Un = 1 + n(n-1)/2 comme formule


Je vous avoue ne pas avoir compris ceci.

Posté par
yoyotokuko
re : Conjecture d'une suite 18-09-14 à 18:27

Pourquoi partez-vous de:
Un - Un-1 = n-1 pour tous les n,
Un-1-Un-2 = n-2

Posté par
Glapion Moderateur
re : Conjecture d'une suite 18-09-14 à 18:35

Parce que je veux Un à la fin.
j'ai écris la formule Un+1 = Un + n mais en remplaçant n par n-1.
j'ai le droit, la formule de récurrence est valable pour tout n 1, j'ai le droit de l'écrire pour n-1.

Posté par
yoyotokuko
re : Conjecture d'une suite 18-09-14 à 18:59

Hein... D'accord. Et bien merci de m'avoir aidé.
Bonne soirée.



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