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conjecture et démonstration

Posté par
Kyky1785
08-09-16 à 22:48

Bonjour j'ai un exercice a faire et je suis un peu perdu, voici l'énoncé :

on considère la suite (un) définie par u0=0 et un+1=un+3n(n+1)+1 pour tout entier n0.

1) A l'aide d'une calculatrice, conjecturer une expression explicite de un

J'ai calculé les deux premiers termes de un ce qui me donne u1=1 et u2=8 mais je ne suis pas sûr de mes résultats

2) Démontrer cette égalité par récurrence

de quelle égalité parle-t-on ? j'aurais besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plait

Posté par
yogodo
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 22:50

Bonsoir

Pourrais-tu expliquer comment tu arrives à  U_1=1 s'il te plaît ?

Posté par
Kyky1785
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 22:53

c'est la premiere fois que j'ai un exercice de ce type... j'ai calculé 0+3x0(0+1)+1

Posté par
yogodo
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 22:58

OK c'est bien comme cela qu'il faut faire. U_2 est aussi correct...

Par contre tu n'en as pas calculé assez pour essayer de voir une relation apparaître. Il faudrait calculer les termes suivants encore...

Posté par
Kyky1785
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:09

j'ai calculé les 6 premiers termes de la suite :
u1=1
u2=8
u3=45
u4=106
u5=197
u6=324

je remarque que u2, u4 et u6 sont pairs e u1, u3 et u5 sont impairs, cela peut m'aider dans cet exercice ?

Posté par
yogodo
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:15

Tu t'es trompé dans le calcul pour gagner un peu de temps je vais te donner les bons résultat je te laisserai les calculer par toi même ensuite.

U_0=0

U_1=1

U_2=2

U_3=27

U_4=64

U_5=125

Alors à toi de voir un peu une relation entre ces valeurs...

Posté par
Kyky1785
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:23

je comprends pas trop comment tu as réussi a trouver cela, u2 et u4 sont pairs et u1,u3 et u5 sont impairs ?

Posté par
yogodo
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:27

Par U_2=8 tu as bon à celui là.

Je te montre le calcul pour U_3 :


 \\ U_{n+1}=U_n+3n(n+1)+1

U_3=U_{2+1}=U_2+3*2(2+1)+1, on remplace n par 2

U_3=27


Ensuite ce n'est pas une question de parité que je te demande. Il faut essayer de trouver une relation entre :

0 et 0
1 et 1
2 et 8
3 et 27
4 et 64
5 et 125

Posté par
Kyky1785
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:32

A chaque fois on peut diviser un par le chiffre de gauche ?

Posté par
yogodo
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:36

Ah tu t'approches de la réponses... Mais ce n'est pas encore ça...

Posté par
Kyky1785
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:40

un indice ?

Posté par
yogodo
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:42

C'est dur de donner un indice sans directement te donner la réponse...

je te dis un mot : racine cubique

Posté par
Kyky1785
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:47

effectivement la relation c'est un+1=n3 ? car 33=27
43=64 et 53=125

Posté par
yogodo
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:52

4^3=64 ?!?
5^3=121?!?

Tu as fait les calculs au moins?

Posté par
Kyky1785
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:54

oui à la calculatrice

Posté par
yogodo
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:56

^^ humour

Alors c'est presque ça, tu t'es trompé dans l'expression de ta suite c'est U_n=n^3 et non U_{n+1}

U_0=0^3=0

U_1=1^3=1


 \\ U_2=2^3=8

...etc...

Posté par
yogodo
re : conjecture et démonstration 08-09-16 à 23:57

Citation :
2) Démontrer cette égalité par récurrence

De quelle égalité parle-t-on ?


Maintenant tu sais de quelle égalité on parle : U_n=n^3

Posté par
Kyky1785
re : conjecture et démonstration 09-09-16 à 00:00

Tu m'as fais peur x') faut pas me faire ca dans un exo de maths déjà je m'embrouille ultra facilement x') ok merci beaucoup bonne nuit !

Posté par
yogodo
re : conjecture et démonstration 09-09-16 à 00:03



De rien bonne nuit également



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