bonjour,

pour n = 1, ta matrice est réduite à (m11), de déterminant égal à m11 soit ce qui ne s'écrit pas sous la forme que tu conjectures, non ?

Salut !

(bon c'est juste un début de calcule, j'ai pas de papier sous la main, et tous faire sur l'écran c'est un peu délicat ^^, enfin je pense que ca devrait t'aider )

on deja envie de poser J=[ai.aj]

ainsi ta matrice M s'ecrit J+D ou D est la matrice diagonal di=ai/li*(K+(somme lj*aj) -2ai*li)

on veut calculer de(J+D) = det(D)*det(J*D^(-1)+1)

det(D)= produit des di.

J*D^(-1) est une matrice de la forme [ai.aj/dj]

or le polynome charactéristique de la matrice [ai.bj] est x^(n-1)*(x- somme des ai.bj)
donc det(J*D^(-1)+1)=(1+somme des ai.aj/dj)
(enfin peut-etre a un (-1)^n pres...)

donc je pense que det(M)=(produit des di) *(1+somme des ai.aj/dj)

apres il faut manipuler un peut cette expression et c'est pas impossible qu'on retombe sur ce que tuas annoncé ^^

Bonjour

Le p n'est censé ne dépendre que de n, indépendamment des a_i, lamba_i et K?
Dans ce cas, sauf erreur, il me semble qu'il y a un problème de dimension :
Si on double tous les lambda_i ainsi que K, la matrice reste inchangée, mais pourtant la valeur du déterminant donnée par ta formule est multipliée par .

Fractal

ouai il manque visiblement des lambda_i au dénominateur de ta convjecture...

(dans l'expression que j'ai donné il y en a...)

oui il manque un produit des lambda!! je réécris ça de suite...

C'est plutôt:

si On note a et b les vecteur (ai) et (bi) alors cette matrice est la matrice de l'application :

x->(a|x).b


l'image de cette application est vect(b) donc cette matrice est de rang 1, donc 0 est Valeur propre d'ordre au moins (n-1).

apres faut trouver la dernière valeur propre, et vu que Im f =vect(b), on sais ou chercher : f(b)=(a|b).b donc la dernier valeur propre est (a|b)

le polynome charactéristique est donc x^(n-1).(x-(a|b))

Merci infiniment Ksilver Et bravo

En fait je crois que les  a_i  sont à remplacer par  -a_i  dans les termes non diagonaux, i.e. ta matrice j remplacée par -J, et là ça se simplifie, et on trouve bien ce que je cherchais à un coefficient près

Et merci à teamc et Fractal aussi

Vous êtes d'accord messieurs ?

Formellement oui. mais j'ajouetrai que la formulle dans les cas ou D n'est pas inversible s'obtiens par continuité ou qqch comme ca non ?

Arf je ne sais pas, dans mon contexte tout est strictement positif. Tu veux dire d'abord que tant que D est inversible le résultat est correct, sans autre hypothèse sur les  a_i, les  lambda_i, et  K ?

Ba la formule est toujours vrai, mais la démonstration n'est valide que si D est inversible.

mais si tous est strictement positif, alors les di sont aussi >0 donc D est inversible, donc il y a pas bessoin de réfléchir a ca alors ^^


mais bon si on voulait on pourrait étendre la formule au cas ou D n'est pas inversible par continuité quoi...