Bonjour,

Tout d'abord, exercice est masculin, on écrit cet exercice.
Maintenant, qu'entends-tu par "nature" ? S'agit-il du type de la série ou de sa convergence/divergence ?
Enfin au (3) il mangue probablement des parenthèses, Un = (n²+n)/n

La nature :si c'est une suite arithmétique ou géométrique

LeHibouLeHibou
( n²+n)/2
D'accord excusez moi ,cet exercice *

Rappelle-nous la forme générale d'une série arithmétique et d'une série géométrique, et les critères qui permettent de reconnaître l'une et l'autre.

une suite est arithmétique :Un+1= Un+r
Et géométrique :Un+1=Un×q

Oui, et quels sont les tests qui permettent de reconnaître si une suite est d'un type, ou de l'autre, ou d'aucun des deux ?

Non, ça ce ne sont pas des tests, ce sont les formes explicites des séries.
Je te les donne, tu les appliqueras à tes 6 exemples.
Série arithmétique :
U_n+1 - U_n = k , valeur constante (indépendante de n)
Série géométrique :
U_n+1 / U_n = k , valeur constante (indépendante de n)
Tu dois toujours tester les deux, car les deux peuvent être vérifiés simultanément !

_{*malou>citation inutile supprimée*}
D'accord merci  et après que j'ai terminé de vérifier  ,je fais comment pour démontrer leurs conjectures?

reBonjour à vous deux
en complément du message de LeHibou, je dirais que comme l'énoncé dit "conjecturer puis démontrer", je calculerais volontiers à chaque fois les premiers termes, pour voir...ou bien on aurait immédiatement un contre exemple, ou bien on démontrerait...
Je vous laisse