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Conjectures

Posté par
alexhdmt
03-01-23 à 14:30

Bonjour,
Enoncé:
"a)Avec Géogébra créer:
-la courbe représentative C de la fonction carré;
-2 points quelconques distincts A et B de C
-les tangentes à C en A et B et le point d'intersection J de ces tangentes;
-le milieu I de [AB];
-le milieu M du segment [IJ];
-la tangente à C en M.
b) Conjecturer des propriétés de la parabole
c) Démontrer l'une de ces propriétés."

Je n'ai pas eu de soucis à réaliser la figure avec Géogebra. Mais je ne pas sûr pour la question b). Pour l'instant, j'ai mis que [AB] semble parallèle à la tangente en M. Et j'ai aussi mis que le milieu de [IJ] est un point qui appartient à C.
Est-ce que ces conjectures sont pertinentes et il y en a-t-il d'autres sur lesquelles je fais l'impasse?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Conjectures 03-01-23 à 14:41

Bonjour,

oui c'est bon.

nota : le milieu de IJ s'appelle M
le fait que M appartienne à (C) est déja "conjecturé" dans l'énoncé lui-même, vu qu'ils disent "la tangente en M"

tu peux aussi parler de la direction de (IJ) ...

nota : joindre une figure , copié de Geogebra, aurait été bien

Posté par
alexhdmt
re : Conjectures 03-01-23 à 15:20

D'accord, je veux essayer de démontrer que M est bien un point de la fonction carré en faisant abstraction de l'énoncé. Mais je me retrouve bloqué lorsque je cherche les coordonnées de J.
L'équation de la tangente en A(a;a²) à C est y=2ax-a²
L'équation de la tangente en B(b;b²) à C est y=2bx-b²
Je suppose qu'il faut trouver quand est-ce que ces équations s'annulent pour trouver l'abscisse de J. Mais avec toutes ces inconnues, est-ce possible?

Posté par
alexhdmt
re : Conjectures 03-01-23 à 15:30

Je crois que du coup si J(x;y) alors

x=\frac{a²-b²}{2a-2b}
mais après pour y je sèche...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Conjectures 03-01-23 à 16:11

oui,
on peut factoriser pour simplifier
y c'est reporter cette valeur de x dans l'une des deux équations de droite

Posté par
alexhdmt
re : Conjectures 03-01-23 à 19:03

Au final j'ai trouvé:
Abscisse de M= 0,5a+0.5b
Ordonnée de M=\frac{(a+b)²}{4}

Posté par
alexhdmt
re : Conjectures 03-01-23 à 19:03

Mais comment justifier que M est appartient bien à la fonction carré avec ça?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Conjectures 03-01-23 à 19:12

il suffit d'écrire ça de façon cohérente, pas un coup des décimaux et un coup des fractions.

abscisse = (a+b)/2
ordonnées = (a+b)²/4 = ( ... ) ²
et du coup ça saute aux yeux si l'ordonnée est le carré de l'abscisse (y = x²) ou pas ...

Posté par
alexhdmt
re : Conjectures 03-01-23 à 19:20

Je peux écrire que
(Xm)²= (0.5a+0.5b)²
Ym= (0.5a+0.5b)² ?
Donc (Xm)²=Ym ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Conjectures 03-01-23 à 19:23

oui c'est assez évident que (a+b)²/4 = ((a+b)/2)²

Posté par
alexhdmt
re : Conjectures 03-01-23 à 19:27

Très bien et vous parliez dans votre première réponse de conjecturer la direction de (IJ). Est-ce cette conjecture consiste à dire que (IJ) semble parallèle à l'axe des ordonnées?  

Posté par
mathafou Moderateur
re : Conjectures 03-01-23 à 19:31

oui (IJ) verticale.
en écrivant (a+b)/2 de préférence à 0.5a + 0.5b on met bien mieux en évidence que c'est des milieux (abscisse commune à I, J, M)
et donc même abscisse = ...

pour achever la partie intéressante de la conjecture il va s'agir maintenant de comparer les pentes (coefficients directeurs) de (AB) et de la tangente en M ...
c'est aussi rapide que les calculs précédents donc ça vaut le coup de ne pas s'en priver !

Posté par
alexhdmt
re : Conjectures 03-01-23 à 19:50

C'est bon j'ai réussi merci beaucoup pour votre aide et meilleurs vœux pour 2023!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Conjectures 03-01-23 à 19:56

de rien ce fut un plaisir.
meilleurs vœux de même.



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