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construction a la regle et au compas

Posté par
cqfd67
20-05-05 à 11:30

bonjour a tous,

Etant donné un triangle ABC non equilateral, construire a la regle non gradue et au compas le(s) point(s) M tel que les angles de droites (MB,MC), (MC,MA) , (MA,MB) soient egaux

que se apsse t il si ABC est equilateral?

merci, d avance

Posté par
davidk
re 20-05-05 à 11:49

La somme de ces 3 angles vaut 360° déjà, non

Posté par marcfo (invité)re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 12:00

Je pense qu'il s'agit du point de Fermat
Effectivement un compas et une règle suffit
Il faut tracé les point A' B' C' tel que
A'BC  ; AB'C  et ABC' soit equilatéraux
Remarque on aura également une propriété interressante
AM+BM+CM est minimum
Ai-je juste?

Posté par
cqfd67
re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 12:06

c estce que j ai penser aussi
mais est ce que c est le seul point?
j ai pense utilise les arcs capables

Posté par marcfo (invité)re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 12:11

Je pense qu'il existe qu'un seul point M, c'est l'intersection des 3 cercles inscrivant les 3 trianble A'BC  AB'C   ABC'.

Posté par
cqfd67
re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 12:24

je vous livre mon raisonnement:

vu qu il s agit d angle de droite toutes les mesures des angles sont modulo Pi

(MB,MB)=Pi [Pi]

(MB,MC)+(MC,MA)+(MA,MC)=Pi [Pi]
3(MB,MC)=Pi [Pi]

(MB,MC)=Pi/3 [Pi/3]

apres je pense tracer les cercles tel que (MB,MC)€{Pi/3,2Pi/3,Pi)
puis les autres cercles (MA,MB)€{Pi/3,2Pi/3,Pi)
(MA,MC)€{Pi/3,2Pi/3,Pi)

et regarder les point d intersection

vous en pensez quoi?

Posté par
cqfd67
re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 12:24

aussi pourquoi le fait que si ABC est equilateral il doit se apsser autre chose?

Posté par marcfo (invité)re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 12:47

Si ABC et équilatéral
Alors M devient le centre de gravité, l'orthocentre

Je ne vois pas bien tes différents points M,
Pour moi la figure est simple et il n'y en a qu'un

Posté par
cqfd67
re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 13:20

bon ben je vais poursuivre mes recherches, je te tiendrais au courant

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 14:28

(MB,MC) + (MC,MA) + (MA,MB) = 2k.Pi  (k dans Z)

Avec
(MB,MC) = (MC,MA) = (MA,MB) ->

(MB,MC) = (MC,MA) = (MA,MB) = 2k.Pi/3

supposons k = 1  --> (MB,MC) = (MC,MA) = (MA,MB) = 2.Pi/3.

Je propose la construction suivante:

On trace angle(ACP) = 30° (on sait le faire au compas et à la règle non graduée).
On trace la médiatice de [AC]
Le point P est la rencontre de ces 2 droites.

Tracer le cercle de centre P et de rayon PC. (il passe bien entendu par A et C).
Ce cercle est un premier lieu de M.

(Ce qui a été décrit jusqu'ici est sur le dessin du haut).
---
Je passe sur le dessin du bas pour continuer les explications.

On trace angle(ABP) = 30.
On trace la médiatice de [AB]
Le point Q est la rencontre de ces 2 droites.

Tracer le cercle de centre Q et de rayon QB. (il passe bien entendu par A et B).
Ce cercle est un second lieu de M.
---
M est le point de rencontre des 2 cercles. (point différent de A).
-----
Si le triangle est équilatéral, M sera à la fois orthocentre et cente de gravité du triangle.

Sauf si je me suis planté, ce qui est d'être exclu.


Je n'ai pas vraiment cherché si on avait d'autres points M en prenant k différent de 1.








construction a la regle et au compas

Posté par
cqfd67
re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 14:34

salut,

je suis pas (tout a fait) d accord avec toi J-P

a ta premiere ligne tu dis que : (MB,MC) + (MC,MA) + (MA,MB) = 2k.Pi (k dans Z)

moi je dirais plutot: (MB,MC) + (MC,MA) + (MA,MB) = k.Pi (k dans Z) car on parle d angle de droite, donc il ya  des cas en plus non?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 14:35

Je n'ai pas justifié la construction mais c'est facile.

Il faut que angle(AMC) = 120°
Avec angle(ACP) = 30°, on a angle(APC) = 180°-2*30° = 120°

Donc si on prend un point sur le cercle mais à l'extérieur du triangle, soit N ce point, on a:
angle(ANC) = (1/2).angle(APC) = 120°/2 = 60°

Et donc n'importe quel point M pris sur le cercle mais dans le triangle donnera angle(AMC) = 180° - 60° = 120°.
et c'est ce qu'on voulait.

Même raisonnement pour le second cercle ...
-----
Toujours sauf erreur de ma part.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 14:39

OK avec ta remarque CQFD67, bien que en général la notation (MC,MA)est utilisée pour les vecteurs MA et MC et par pour des droites, mais bon, je te laisse voir si des cas supplémentaires existent si c'est vraiment kPi qu'il faut prendre.


Posté par
cqfd67
re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 14:39

salut,

je suis pas (tout a fait) d accord avec toi J-P

a ta premiere ligne tu dis que : ( MB,MC) + (MC,MA) + (MA,MB) = 2k.Pi (k dans Z)

moi je dirais plutot: ( MB,MC) + (MC,MA) + (MA,MB) = k.Pi (k dans Z) car on parle d angle de droite, donc il ya  des cas en plus non?

Posté par
cqfd67
re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 14:40

ok merci, pour tout

je vais me debrouiller avec ca

Posté par marcfo (invité)re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 15:44

Où en es-tu?
As tu tracé les 3 triangles équilatéraux;
Et as tu tracé les 3 cercles inscrivants c'est trois triangles?
Je ne vois pas comment tu peux avoir d'autres points M.

Posté par
cqfd67
re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 15:49

pour l instant j en ai pas d autre....
mais l enonce suggere le contraire

Posté par marcfo (invité)re : construction a la regle et au compas 20-05-05 à 16:10

Jète un coup d'oeil sur l'adresse suivante
http://serge.mehl.free.fr/anx/pt_fermat.html

C'est interressant



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