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Contact entre une courbe et un cylindre
Bonjour,
mon problème est le suivant : j'essaie de trouver les coordonnées des points P1 et P2 (voir schéma). Le point P1 est un point de tangence entre la droite incidente, passant par le point P0 de coordonnées connues, et le cylindre (dont la position est fixe en translation et rotation selon x). De même pour le point P2 inconnu et P3 connu.
Il s'agit en réalité d'une droite, un fil droit (P1P3), d'inclinaison quelconque dans l'espace, sur laquelle vient s'appuyer un cylindre faisant apparaître les points de tangence P1 et P2. Le cylindre étant lubrifié, il n'y a aucune adhérence entre le fil et le cylindre et donc, du moins je le pense, la courbe décrite entre P1 et P2 n'est pas une hélice circulaire mais bien une portion d'ellipse.
La question est la suivante : connaissant P0, P3 et le fait qu'il y a une tangence en P1 et P2, comment peut-on trouver les coordonnées de P1 et P2?
Merci d'avance pour les pistes que vous pourriez me donner 
non, l'axe du cylindre est l'axe des y.
En haut à gauche : projection dans le plan yz;
En haut à droite : projection dans le plan xz;
bonjour,
En s'enroulant sur le cylindre, la ligne P0 P3 définit un plan, dont tu peux facilement déterminer l'équation, en remarquant que est un de ses vecteurs normaux.
(de plus il passe évidement par )
de plus la ligne est dans un plan passant par
et tangent au cylindre, tu peux donc aussi déterminer son équation. vecteur normal
si je ne me trompe.
L'intersection de ces deux plans te donne la droite que tu exprimes sous forme paramétrique,
Il te reste à déterminer le paramètre t pour obtenir une intersection avec le cylindre et obtenir les coordonnées du point
Tu procèdes de même avec le point pour obtenir le point
.
Soit la projection de
sur l'axe
et
la projection de
sur l'axe
.
Dans le plan , comme c'est une projection les points P'0 et P'3 sont confondus avec le centre du cercle.
- Calculons l'angle fait par les projections des vecteurs et
qui s'écrit
Ceci nous permet de calculer l'angle
, nous aurons deux solutions, là il faut choisir le bon angle.
- Nous avons donc l'élévation
le long de l'axe
correspond à une rotation d'angle
Avec correspondant au point
Avec correspondant au point
Avec correspondant au point
Avec correspondant au point
et
De même dans le plan x, z tu peux écrire les différentes relations en fonction des angles et
De plus tu as d'autres relations de produits scalaires et
Donc :
et
Notation: correspondent a la projection du point
sur l'axe des
.
Bonsoir,
quelque chose me laisse perplexe :
Le cylindre étant lubrifié, il n'y a aucune adhérence entre le fil et le cylindre et donc, du moins je le pense, la courbe décrite entre P1 et P2 n'est pas une hélice circulaire mais bien une portion d'ellipse.
Il me semble au contraire que l'absence de frottements entraîne que la courbe soit une géodésique du cylindre et donc une portion d'hélice.
Mais je dois avouer que c'est un sujet que je connais mal.
On peut toutefois essayer de voir ce qui se passe quand il y a, par exemple un tour à faire pour aller de P0 à P3.
Bonsoir
j'aurais tendance à penser comme verdurin : si c'est lubrifié, le fil va glisser dans la position qui donne la plus courte distance
intuitivement pour l'obtenir, on fend le cylindre et on le déroule pour l'aplatir, et on trace la ligne droite entre P0 et P3
et quand on dessine une droite sur une feuille et qu'on roule cette feuille en cylindre, on a une hélice sur le cylindre, non ?
Bien sûr, la courbe est une portion d'hélice dont on peut calculer le pas à partir des paramétré déjà calculés auparavant
est un segment
est un segment
Nous avons aussi à respecter la tangence entre ces portions de courbes.
Bonjour,
Oui en effet, je suis parti sur la base de l' hypothèse de Bonjour123 qui considérait l'ellipse, mais c'est bien en effet une portion d'hélice , l'argument de la géodésique est imparable (verdurin, lafol)
bonjour,
@Razes
Je ne vois pas comment ton angle te fournit l'angle
que tu cherches; ou alors il faut aussi poursuivre l'enroulement du fil autour du cylindre avec les parties rectilignes
et
de celui-ci.
Mais cela me semble compliqué.
Il me semble qu'il faille d'abord déterminer l'angle de deux plans tangents au cylindre et passant respectivement par les points et
, ce qui est élémentaire bien que très calculatoire (Intersection de cercles, équation du second degré en travaillant par projection dans le plan (oxz), j'ai fait l'hypothèse que l'origine du repère choisi qui n'est pas précisé par bonjour123 est sur l'axe du cylindre)
En appelant respectivement les projections orthogonales des points
sur (oxy), la détermination de la mesure de
qui s'obtient par soustraction
permet de trouver
sur le cercle de base du cylindre.
Les points et
sont donc en partie connus pour leur coordonnées (x,z).
Le théorème de Thales permet d'avoir l'élévation y de chacun d'eux.
élévation correspond à la rotation
Nous allons travailler en coordonnée cylindrique car elles sont les plus appropriés:
Nous avons : nous utilisons la projection sur le plan
d'où:
Nous obtenons donc:
De la même façon entre les points 2 et 3, nous obtenons :
Nous avons déterminé les 4 \theta, nous pouvons calculer les coordonnées des deux points et
.
bonjour,
Je n'ai pas regardé tous les détails mais
en effet, le calcul trigonométrique convient. je passais pour ma part sur un calcul algébrique.
J'arrive à des résultats corrects
Maintenant, que deviendrait le même problème si le fil ne s'enroule pas autour d'un cylindre mais bien autour d'un volume de révolution quelconque comme, par exemple, celui donné en annexe?
Sait-on exprimer la géodésique dans ce cas de figure? Et alors comment trouver les points de tangence?
Je pensais que j'avais des résultats corrects mais j'ai un problème avec les coordonnées en y. Comment trouve-t-on la formule donnée plus haut pour le pas? je ne comprends pas comment la trouver sachant que le point 0 et le point 3 ne sont pas sur la courbe...
Sinon pas de réaction pour la question juste au dessus?
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