Je réessaie avec le latex... (non non je ne suis pas SM)
= (-)/(+) +(+)/(-)
= 2 ( +)/( - )

U_n= 2.(3^(2n) +2^(2n))/(3^(2n) - 2^(2n))

f(x) = 2.(3^(2x) + 2^(2x))/(3^(2x) - 2^(2x)

f '(x) = ...

f '(x) = 8.2^(2x).3^(2x).(ln(2)-ln(3))/(3^(2x)-2^(2x))^2

Comme une exponentielle est toujours > 0 ->   8.2^(2x).3^(2x)/(3^(2x)-2^(2x))^2 est strictement positif et:
f '(x) a le signe de (ln(2)-ln(3)), soit négatif.

f '(x) < 0 --> f(x) est décroissante.

Donc U_n diminue lorsque n augmente et la suite Un est décroissante.  (1)

U_n= 2.(3^(2n) +2^(2n))/(3^(2n) - 2^(2n))

Comme 3 > 2, U_n > 0 pour tout n de N

Donc la suite Un est minorée par 0. (2)

(1) et (2): La suite Un est décroissante et minorée, elle est donc convergente.
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On ne demande vers quoi la suite converge mais on peut facilement le trouver:

lim(n->oo) [(3^n-2^n)/(3^n+2^n) +(3^n+2^n)/(3^n-2^n)] = 1 + 1 = 2

La suite Un converge vers 2.
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Sauf distraction.  

ok merci c'est plus clair. Par contre je n'ai pas compris comment tu calcules vers quoi la suite converge. Je n'arrive pas à calculer la limite des deux membres de la somme...

Lorsque n -> oo, on a 3^n >>>>> 2^n
et donc:
lim(n->oo) [(3^n-2^n)/(3^n+2^n) +(3^n+2^n)/(3^n-2^n)]
= lim(n->oo) [(3^n)/(3^n) +(3^n)/(3^n)] = 1 + 1 = 2

Oh! bon sang mais c'est bien sûr
Merci bien