Bonjour,

Je ne comprends pas bien la définition de la suite/fonction et le sens des points de suspension :
"f_n(x) = x^n + x^{n+1} +...+ x - 1"
a) les exposants augmentent (n, n+1) puis descendent (x, 1) ?
b) il n'y a que des "+" sauf un "-" à la fin ?

Nicolas

Bonjour,

exact, j'ai fait une erreur les exposants descendent  de n jusqu'à 1.
Et en effet il y a un "-" à la fin ...
J'avais trouvé un exo quelque peu semblable dans le forum :

Question :
Montrer que pour chaque reel n superieur ou egal a 2, l'equation x+x^2+...+x^n=1 a une solution unique qu'on ne chgerche pa a calculer dans [0,1]. On la notera  Rn   (on poura noter Fn la fonction x: x+x^2+...+x^n)

Réponse postée le 13/11/2004 à 13:55
re : posté par : keeho (invité)
1.
- Fn est continue (fonction polynôme)
- Fn(x) est croissante strictement sur [0,1]: en effet, en dérivant, on tombe sur un polynôme de degré n-1 où tous les coeffs sont >0 d'où le signe >0 de la dérivée. (faire une récurrence si tu doutes).
- On remarque maintenant que:
Fn(0) = 0 pour tout n
Fn(1) = n pour tout n (récurrer si besoin)

Maintenant, comme n>1, on a grâce au théorème de la valeur intermédiaire (ou th de la bijection... appelle ça comme dans ton cours) que Fn a une solution unique sur [0,1]

ça semble utilisable ...
Non ?

J'ai toujour des doutes sérieux sur ton énoncé.
Je ne pense pas que f_n soit strictement croissante sur R
Prends par exemple :
f_2(x)=x^2+x-1
f_2(-2)=1
f_2(-1)=-1
f_2(0)=-1
f_2(1)=1

Une fois que tu auras clarifié tout cela (peut-être ne se place-t-on que sur R+ ?), la 2) est assez simple.
f(1) se calcule trivialement
f(1/2) aussi : reconnaître la somme des termes d'une suite géométrique.

Nicolas

Bonjour,

Encore exact, j'ai demandé au prof et il y a une erreur sur la feuille polycopiée, il manque un + au IR !!!

donc il faut lire :

Pour n entier naturel et n>= 1, soit la fonction numérique définie sur IR+,
f_n(x) = x^n + x^{n-1} +...+ x - 1

etc ...

décidément, je suis désolé et merci pour l'aide

1°) Montrer que f_n est strictement croissante
C'est évident, puisque f_n est une somme de fonctions croissantes

2°) Montrer que l'équation f_n(x)=0 admet une solution unique U_n
et que 1/2 < U_n < 1
f_n est continue sur R+
f_n(1/2)=somme des termes d'une suite géométrique... = -(1/2)^n < 0
f_n(1)=n-1 > 0
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, ...

Bonjour,

Merci de votre aide et votre disponibilité
et merci aux auteurs du site

Je t'en prie.

Bonjour,

Je recopie mon exercice et bizarrement (?) pour le calcul de f_n(1/2), je trouve :

f_n(1/2) = (1/2)^n + (1/2)^(n-1) + (1/2)^(n-2) + ... + (1/2) - 1

f_n(1/2) = (1 - (1/2)^n )/(1 - (1/2))   - 1

f_n(1/2) = 2*(1 - (1/2)^n ) - 1 = 1 - (1/2^(n-1)) et non -(1/2)^n

à moins d'une erreur de calcul de la somme des termes d'une suite géométrique de raison (1/2) et de premier terme 1.

donc f_n(1/2) ne serait pas négatif mais plus petit que 1 et là on peut rien dire ...

??? quelles sont mes erreurs ?

Merci

De premier terme 1 ou de premier terme 1/2 ?

Bonjour,

Eh oui évidemment je suis idiot, le premier terme ne peut pas être 1, sinon il devrait apparaître dans la somme des termes !

Désolé de vous faire perdre votre temps ...

Pas de souci.