Supposons U(k) > 0  
U(k+1) = U(k) / ((U(k))²+1) > 0

Donc si U(k) > 0 , U(k+1) > 0
Comme U(0) = 1 > 0, on a aussi U(1) > 0
Comme U(1) = 1 > 0, on a aussi U(2) > 0
Comme U(2) = 1 > 0, on a aussi U(3) > 0
Et ainsi de proche en proche, U(n) > 0 quel que soit n de N.

La suite Un est donc minorée par 0
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U(n+1)/U(n) = 1/((Un)²+1) < 1
U(n+1) < U(n)
La suite U(n) est donc décroissante.
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La suite Un est croissante et minorée, elle est donc convergente.
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Pour n -> oo, on a donc U(n+1) = U(n)
U(n) = U(n)/((Un)²+1)
(Un)²+ 1 = 1
Un = 0
Et donc lim(n->oo) Un = 0
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Sauf distraction.