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Convergence d une suite Sn
Bonjour à tous,
Je n'arrive pas à terminer l'exercice suivant:
On définit, pour tout entier naturel n > 0, la suite ( ) des nombres réels strictement positifs par :
On pose pour tout entier naturel n 
5,
=
On se propose de montrer que la suite pour n
5 est convergente.
a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n5 :
b) Montrer que pour tout entier naturel n 5,
[ 1 + +
+...+
] x
c) En déduire que pour tout entier naturel n 5,
4 x
J'ai démontrer le a) . Je pensais démontrr le b) également par récurrence mais je n'y suis pas arrivée.
Quant au c) j'ai appliqué la formule 1+ q + +...+
=
mais j'arrive à 4 (1 -
x
et je suis bloquée
Merci à ceux qui pourront m'aider et excusez moi si le texte n'est pas bien écrit : c'est mon premier message et j'ai du mal avec le Latex.
Bonsoir,
Pour la b), en écrivant l'inégalité a) pour n \ge5, on a:
En additionnant ces inégalités, on trouve le résultat voulu 
Pour la c), tu y étais presque, il suffit de remarquer que
Nicoco 
Bonsoir Suzette
Pour la question b) il n'y a pas besoin de faire de récurrence, il faut simplement utiliser le resultat établi en a).
Pour tout n>=5 on a :
U(n) <= (3/4)^(n-5)
en particulier :
U(5) <= 1 (en prenant n = 5)
U(6) <= (3/4)
U(7) <= (3/4)²
...
U(n) <= (3/4)^(n-5)
en ajoutant membre à membre toutes ces inégalités on obtient :
U(5)+U(6)+...U(n) <= 1 + (3/4) + (3/4)² + ... + (3/4)^(n-5)
c'est à dire :
Sn <= 1 + (3/4) + (3/4)² + ... + (3/4)^(n-5)
on a de plus 1 < U(5) (se vérifie facilement par le calcul) donc en multipliant ces deux inégalités (entre réels tous positifs) tu obtient l'inégalité demandée.
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