Bonjour

Pour étudier la monotonie d'une suite, on étudie en général le signe de Un+1 - Un.
Si Un+1 - Un > 0 alors Un+1 > Un et donc la suite est croissante.
Si Un+1 - Un < 0 alors la suite est décroissante

Joelz

Ici penses à utiliser le 1. , l'inégalité surtout

Je voulais savoir un truc : si u_n+1=g(u_n) est ce que u_n= g(n)?

il me semble que j'ai trouvé. Pouvez vous me dire si j'ai bon: Comme g(x)x si on prend x=u_n alors on a g(u_n)u_n. Donc on a u_n  est décroissant

pour la convergence j'

pour la convergence j'ai étudié la fonction g(x) puis j'en i conclu que 0g(u_nu_n1. Ai je bon?

pour la convergence j'ai étudié la fonction g(x) puis j'en ai conclu que 0g(u_nu_n1. Ai-je bon? Répondez moi s'il vous plaît

Pour montrer qu'elle est convergente, il suffit de montrer que la suite est décroissante et minorée

Je bloque à une question:
Soit g la fonction définie sur [0,+[ par g(x) = x/(1+x+x2). Soit (un) définie par les relations u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1 = g(un)
1) On sait que g(x)x et g(x)=x a pour unique solution x=0
2) Montrer que la suite unest monotone et dire si elle est croissante ou décroissante puis montrer que cette suite converge. Merci d'avance.

*** message déplacé ***

Bonsoir quand même

2)
Par conséquent :


L'idée est alors de comparer ce rapport à 1.
Montrons que Un est positif
Par réccurence ça marche plutot bien, en effet, u0=1 est positif, et si Un est positif U(n+1) est un quotient de termes positifs.
Par réccurence Un est bien positif.
Ainsi 1+Un+(Un)² est plus grand que 1 et finalement le quotient est plus petit que 1.
La suite est par conséquent décroissante.
De plus, nous avons montré qu'elle était minorée par 0. On en conclut que la suite est convergente.
Le théorème du point fixe nous permet d'affirmer par ailleurs qu'elle converge vers l'unique point fixe de g, c'est à dire 0.



*** message déplacé ***

Merci beaucoup j'ai réussi à continuer l'exercice mais je bloque sur la dernière question.
On a prouvé que u_n est décroissante et converge vers 0, puis que g(1/n)1/n+1 et on a étudier les variations de g sur [0;1] ( croissant).
La question est ensuite: En déduire que pour tout entier naturel n non nul u_n-11/n.
Merci d'avance.

Salut,

un+1 = g(un) < un pour tout n (pisque g(x) < x) et c'est terminé!