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Convergence des suites récurrentes

Posté par
Soufsine
29-05-20 à 00:04

Bonjour les amis
J'ai besoin de votre avis sur cette propriété
Etant donné une fonction f decroissante sur un intervalle  I
Soit (Un)n définie par Un+1=f(Un)
Et U0  appartient à   I


Si |U2n+1 -U2n|I\rightarrow 0 alors (Un)n  est convergente

Si ce resultat est vrai pourquoi il n' est pas très utilisé voire jamais

Posté par
Soufsine
re : Convergence des suites récurrentes 29-05-20 à 00:08

Pardon je veux dire
Si |U2n+1-Un|\rightarrow 0

Posté par
Soufsine
re : Convergence des suites récurrentes 29-05-20 à 00:09

(Un)n converge

Posté par
Soufsine
re : Convergence des suites récurrentes 29-05-20 à 00:33

Si |U2n+1 -U2n|  \rightarrow 0   alors (Un)n converge

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Convergence des suites récurrentes 29-05-20 à 07:09

Bonjour,
Tu l'as trouvée où cette propriété ?
A mon avis, il manque quelque chose :
u0 est dans I. Mais les autres un, pourquoi y seraient-ils ?

Pense à utiliser le bouton "Aperçu" pour te relire avant de poster.

Posté par
Soufsine
re : Convergence des suites récurrentes 29-05-20 à 18:26

Justement je l ai trouvé nulle part
C le pure produit de ma refflexion que j ai essayé de partager avec vous et j avais besoin de votre avis

Alors pour expliquer mon idée
Etant donné  une suite récurrente définie par une fonction decroissante sur un intervalle I  telle que
Un+1=f(Un) et U0 I

Dans c condition on demontre facilement que (U2n)n et (U2n+1)n ont une monotonie opposée vu que fof est toujours croissante
Par ailleurs si |(U2n)-U2n+1|0 alors les deux suites seront adjacentes et par conséquent les deux suites convergeront vers la limite l et donc Unl et sera aussi le point fixe de f et de fof

Posté par
Soufsine
re : Convergence des suites récurrentes 29-05-20 à 18:36

Je précise que l sera aussi un point fixe de f et de fof si bien sur f est continue sur I

Posté par
Soufsine
re : Convergence des suites récurrentes 29-05-20 à 19:39

Pour repondre  à ta question sylvieg
Bien sur f est stable dans I mais on n a pas besoin de le préciser lorsqu'on écrit Unest récurrente tq Un+1=f(Un) on se contente d initialiser notre suite par une valeur U0 de I sinon (Un)n est implicitement dans I

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Convergence des suites récurrentes 29-05-20 à 20:40

Citation :
sinon (Un)n est implicitement dans I
Je ne vois pas pourquoi.
Citation :
on demontre facilement que (U2n)n et (U2n+1)n ont une monotonie opposée vu que fof est toujours croissante
Idem.

Posté par
Soufsine
re : Convergence des suites récurrentes 29-05-20 à 22:55

Lorsqu 'on écrit Un+1=f(Un) ca suppose que UnDf   n
Cad que Df doit etre stable par f

Pour la deuxième si f est décroissante alors fof est croissante car c une composée de deux fonction decroissante
sans perte de généralité si U0 <U2 alors fof(U0)<fof(U1) et donc U2<U4 par récurrence  elle est croissante
Et on aura aussi f(U0 )>f(U2)
Cad U1 >U3 et par récurrence Elle est décroissante

Posté par
Soufsine
Convergence des suites récurrentes 30-05-20 à 00:56

Bonjour les amis
J'ai besoin de votre avis sur cette propriété
Etant donné une fonction f decroissante sur un intervalle  I
Soit (Un)n définie par Un+1=f(Un)
Et U0 appartient à   I stable par f


Si |U2n+1-U2n|0 alors (Un)n  est convergente

Si ce resultat est vrai pourquoi il n' est pas très utilisé voire jamais

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