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Convergence et limite
Salut, j'ai 2 exercices d'un devoir maison que je n'arrive à bien terminer. J'vous les mets.
EXERCICE 1
Soit u la suite définie par = 1 et
=
pour n entier naturel.
a) Démontrer par récurrence que pour tout n, 0 
< 2.
C'est bon, du moins j'espère que j'ai bien rédigé.
b) Prouver que u est strictement croissante.
C'est bon aussi, en utilisant la propriété démontrée, j'ai pu dire que <
c) Justifier que u est convergente puis montrer que sa limite est solution de l'équation x²-x-2 = 0.
Ben là, j'ai dit que u est strictement croissante et majorée par 2, alors elle est convergente. Mais le rapport avec l'équation... aucune idée.
d) Calculer la valeur exacte de la limite de u.
À partir de quel rang obtient-on une valeur approchée à près ?
Ben donc, "dans le brouillard", j'ai cherché les solutions de l'équation qui sont 2 et -1. Mais je n'arrive pas pour autant à répondre aux questions.
EXERCICE 3
Soit f la fonction définie sur ]1;+
[ par f(x) = .
1) Donner des valeurs approchées à près de f(10), f(10000), f(335667). Conjectures ?
Je trouve -2,989 ; -2,999 ; 2,999 . Alors j'ai conjecturé que = -3 .
2) Tracer la courbe de f sur la calculatrice et conjecturer son comportement en +
J'ai conjecturé que en + la courbe se rapprochait de la droite d'équation y = -3.
3) On considère l'intervalle i = ]-3,99 ; -2,01[ . Préciser le centre et le rayon de I.
Montrer que pour tout x supérieur à un certain x', f(x) 
I.
Avec des petits calculs, j'ai trouvé que le centre c'est -3 et le rayon c'est 0,99. Par contre, je n'arrive pas à répondre à la seconde question.
4) Rédiger proprement la preuve de = -3 (on généralisera la question 3 à un rayon quelconque r > 0).
Bah, j'pense qu'il me faut l'autre réponse pour rédiger celle-là...
Voilà. Ça serait sympa une p'tite aide, s'il vous plaît.
1)c) Si x est la limite de la suite, alors on a d'où l'équation.
1)d) Ce sont les bonnes valeurs des solutions mais seule la positive a un sens (voir a)).
3)3) On peut récrire la fonction : , il devient aisé de conclure avec le comportement de x
à l'infini.
3)4) Il ne faut pas nécessairement la réponse d'avant pour répondre. Il suffit d'admettre qu'elle est vraie. Il s'agit dans cette dernière question de se ramener à la définition de la limite. Quel que soit epsilon, il existe... etc.
Ok merci jacques1313.
Pour l'exercice 1, j'arrive pas à comprendre comment on peut établir que x est la limite. Enfin, pour parler littéralement, ce que je veux dire c'est que je comprends pas pourquoi tu peux dire que la limite = la racine carrée de 2 + la limite.
Et pour l'exercice 3, à mon avis ce n'est pas une justification de ce type qu'il faut donner. Hier on a fait un cours que j'ai pas totalement saisi sur ce genre de truc. J'vais essayer de voir si je l'utilise là.
Et sinon, c'est quoi ton truc de la définition de la limite ? Continue s'il te plaît.
Bien sûr, si il y en a d'autres qui passent par là et qui peuvent m'apporter de l'aide, qu'ils le fassent, s'il leur plaît !
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