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convergence suite un=(1+1/n)^n
Bonjour à tous,
J'ai un exercice dont le but est de montrer que la suite de terme général
un=(1+1/n)^n
converge vers le nombre e (exp(1)).
Dans cet exercice, la méthode est d'encadrer e puis en utilisant le théorème des gendarmes aboutir à la conclusion esposée plus haut.
Le souci, c'est que je dois trouver 2 autres méthodes pour prouver la convergence de (un) vers e. J'en ai trouvé une qui consiste à écrire
(1+1/n)^n=exp(n.ln (1+1/n)
Pourriez-vous me donner d'autres façons de montrer que un converge vers e?
J'ai pensé aux théorèmes des suites adjacentes puisque
(1+1/n)^n < e <(1+1/n)^(n+1) mis le hic c'est que le théoorème ne donne pas la valeur de la limite!
Ensuite je dois parler de la vitessse de convergence de la suite (un), je trouve que celle-ci est lente puisque (un+1 - e)/(un - e) tend vers 1 en +inf mais je n'arrive pas à le prouver par le calcul, avez-vous des pistes à me donner?
Enfin, dans la continuité de cet exercice, je dois construire une suite qui tende vers exp(x), quel que soit x. Je trouve un(x)=(1+x/n)^n mais là encore je ne sais pas comment le justifier!
Merci d'avance de votre aide qui me sera très précieuse je n'en doute pas.
Bonjour,
Une méthode consiste à prouver que pour tout réel,
en étudiant la fonction différence sur
Puis d' en déduire que pour tout :
et enfin prouver que
puis les gendarmes...
Salut,
je te propose encore une autre methode (tu dis que tu en as besoin de 2):
calculer la limite en +oo de cette suite revient a calculer la limite de n.ln(1+1/n)
Pour calculer cette limite, tu peux te servir de la derivabilité de la fonction ln: la fonction ln est derivable en 1 et ln'(1)=1/1=1
autrement dit la limite du taux (ln (1+h) - ln(1))/h tend vers ln'(1) quand h tend vers 0, cad ln(1+h)/h tend vers 1 en +oo.
en faisant le changement de variable h=1/x et en simplifiant, on retrouve bien x.ln(1+x) tend vers 1 quand x tend vers +oo.
Et en reprenant l exponentielle, on retrouve (1+1/n)^n tend vers exp(1)=e.
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