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Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : algo

Posté par
tanguy141996 06-11-13 à 14:46

Bonjour à tous,

j'ai à rendre un DM de maths spé pour samedi, mais je bloque sur la fin de celui-ci, c'est bien sûr la partie la plus dure
La première partie du Dm consiste a passer des nombres de base 10 en base 2,3,8, 12... en utilisant la division Euclidienne.

Voici la partie que je n'arrive pas :

Pour déterminer l'écriture en base a d'un nombre n, on effectue la division euclidienne de n par a, soit n= a x q1 + r1, puis on réitère le procédé avec q1. On fabrique ainsi deux suites (qn) et (rn).

a. Montrer que la suite (qn) est strictement décroissante.
b. On stoppe l'algorithme dès que le quotient est nul. Montrer que l'algorithme s'arrête nécessairement après un nombre n0 d'étapes.
c. Donner alors l'écriture du nombre n en base a.
d. En déduire l'unicité de l'écriture en base a.


Ensuite il faudra créé cet algorithme mais je pense que je pourrais m'en sortir si j'ai compris les 4 questions ci-dessus. Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Posté par
Labore : Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : a 06-11-13 à 16:59

Bonjour,
a)
n=aq_1+r_1   et     0\leq r_1< 0 \\ q_1=aq_2+r_2   et     0\leq r_2< 0 \\ q_n=a_q_{n+1}+r_{n+1}  et  0\leq r_{n+1}< 0 \\ q_n-q_{n+1}=(a-1)q_{n+1}+r_{n+1}
a≥2
a-1≥1
q_n-q_{n+1}\geq 0 \\ q_n\geq q_{n+1}
la suite (qn) est décroissante
b) comme la suite est décroissante :
si  q_n<a  alors  q_{n+1}=0
écriture du nombre en base a
r_{n+1} r_n ...r_1

Posté par
tanguy141996re : Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : a 06-11-13 à 17:25

Merci de votre réponse, mais n'y a t'il pas une erreur lorsque vous dites :
0r2< 0 ?

Posté par
Labore : Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : a 06-11-13 à 17:29

oui, il faut lire  des "a"  
n=aq_1+r_1   et     0\leq r_1< a \\ q_1=aq_2+r_2   et     0\leq r_2< a \\ q_n=a_q_{n+1}+r_{n+1}  et  0\leq r_{n+1}< a

Posté par
Labore : Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : a 06-11-13 à 17:31

q_n=aq_{n+1}+r_{n+1}  et  0\leq r_{n+1}< a

Posté par
tanguy141996re : Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : a 06-11-13 à 17:33

Ah oui merci beaucoup !

et je ne comprends pas non plus pourquoi vous avez mis : "a≥2 donc a-1≥1" ?

Posté par
tanguy141996re : Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : a 06-11-13 à 17:41

Enfin juste le a≥2 que je ne comprends pas ?

Posté par
Labore : Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : a 06-11-13 à 18:03

Citation :
La première partie du Dm consiste a passer des nombres de base 10 en base 2,3,8, 12

==>a≥2

Posté par
tanguy141996re : Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : a 06-11-13 à 18:15

Ah oui, je vous remercie beaucoup ! Vous m'avez bien aidé ! Je vais chercher la suite maintenant

Posté par
Labore : Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : a 06-11-13 à 18:22

ok

Posté par
tanguy141996re : Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : a 06-11-13 à 19:18

Excusez moi encore, je n'ai pas compris le pourquoi de la question b ?

Posté par
Labore : Convertir l'écriture d'un nombre de base 10 en base 'a' : a 06-11-13 à 20:03

comme les quotients qn décroissent ,   un quotient qn<a ==> et q_{n+1}=0
exmple:
25 en base 3
25=3\times 8 +1  q_1=8 et  r_1=1 \\ 8=3\times 2  +2   q_2=2 <3 et  r_2=2 \\ 2=3\times 0+2    q_3=0     et  r_3=2
écriture de 25 en base 3
221
on peut retrouver 25
2\times 3^2+2\times 3^1+1\times 3^0=18+6+1=25


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