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Convexité

Posté par
Mercator 28-02-23 à 13:59

Bonjour, pourriez- vous m'aider s'il vous plaît à faire cette exercice :
On appelle fonction « satisfaction » toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100. Lorsque la fonction « satisfaction » atteint la valeur 100, on dit qu'il y a « saturation ».
On définit aussi la fonction « envie » comme la fonction dérivée de la fonction « satisfaction ». On dira qu'il y a « souhait » lorsque la fonction « envie » est positive ou nulle et qu'il y a « rejet » lorsque la fonction « envie » est strictement négative.
La direction des ressources humaines d'une entreprise modélise la satisfaction d'un salarié en fonction du salaire annuel qu'il perçoit. On admet que la fonction « satisfaction » h, est définie sur l'intervalle
[10;50] par :
h(x) = 90 / 1+ e^-0,25x+6 ( x en millier d'euros)
Un logiciel de calcul donne les résultats suivants ( image).
a) Donner sans justification une expression h''(x).
b) Résoudre dans l'intervalle [10;50] l'inéquation : e^-0,25x+6    -1 >0. (Le -1 n'est pas dans l'exposant)
c) Étudier la convexité de la fonction h sur l'intervalle [10;50].
d) A partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction « envie » décroît ? Justifier.
e) Déterminer, en le justifiant, pour quel salaire annuel, en millier d'euros, la fonction « satisfaction  » atteint 80. Arrondir à l'unité .

Convexité

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 14:07

Pour la a) est ce qu'on utilise la formule u' v-uv'/v^2 ?

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 14:14

Bonjour

h(x)=\dfrac{90}{1+\text{e}^{-0,25x+6}}

Pour dériver h, autant utiliser \dfrac{1}{v} \\
pour h''  oui, on va utiliser \dfrac{u}{v}

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 14:20

Donc h(x) = 90/ 1+e^-0,25x+6
h'(x) = -0/-0,25e^-0,25x+6  est ce que c'est bon avec  la formule 1/u ?

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 14:31

\left(\dfrac{1}{v}\right)'= -\dfrac{v'}{v^2}

v(x)=\text{e}^{-0,25x+6}\quad v'(x)=

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 14:35

v'(x) = -0,25e^-0,25x+6

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 14:40

Oui

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 14:42

Donc - (-0,25xe^-0,25x+6) / (e^-0,25x+6)^2
Est ce que maintenant je calcule f seconde ou il faut encore simplifier ?

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 14:53

Il est préférable de commencer par simplifier

Ce n'est pas f, mais h.

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 14:53

IL ne faut pas oublier le 90

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 15:00

Ok on factorise par e^-0,25x+6 mais le 90 je ne sais pas où on peut le mettre car sa dérivé c'est 0

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 15:04

Ce n'est pas ce que l'on a utilisé  

h=90\times \dfrac{1}{v} \quad h'=90\times \left(-\dfrac{v'}{v^2}\right)

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 15:30

90x ( - e^-0,25x+6/ -0,25e^-0,25x+6)

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 16:00

Erreur, vous avez changé le dénominateur en cours

h'(x)=\dfrac{90\times (-0,25\times \text{e}^{-0,25x+6})}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2}

On ne peut donc faire que la multiplication 90\times 0,25

h'(x)=\dfrac{-22,5}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2}

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 16:01

Lire

\large h'(x)=\dfrac{-22,5\times( \text{e}^{-0,25x+6})}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2}

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 16:15

Ok donc je fais h seconde maintenant

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 16:20

Donc
h'(x) = 22,5e^-0,25x+6 / (1+ e^-0,25x+6)^2

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 16:20

Oui, vous avez le résultat.

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 16:37

Ok je fais h seconde

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 16:45

N'oubliez pas les signes

h'(x) = - 22,5e^-0,25x+6 / (1+ e^-0,25x+6)^2

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 16:52

h'´(x) = 22,5 (e^-0,25x +6) / (1+(e^-0,25x6)^2

h''(x) = 5,625e^-0,25x +6( e ^-0,25x +6-1) / (1+e^-0,25x+6)^3

Est ce que h seconde est bon ? Désolé du retard c'était long à trouver j'ai fais plusieurs calcul et j'ai du recommencer

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 16:53

Ah oui j'ai oublié de taper les signes encore une fois je vais l'écrire

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 18:08

h'(x)=\dfrac{-22,5\times( \text{e}^{-0,25x+6})}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2}

on pose u(x)=-22,5  \text{e}^{-0,25x+6}\quad u'(x)=+5,625 \text{e}^{-0,25x+6}

v(x)=\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2\qquad v'(x)=2(1+\text{e}^{-0,25 x+6})(-0,25\text{e}^{-0,25x+6})=-0,5\text{e}^{-0.25x+6}(1+\text{e}^{-0,25x+6})


h''(x)=\dfrac{+5,625 \text{e}^{-0,25x+6}\left( \left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2 \right)-\left(-0,5\text{e}^{-0.25x+6}(1+\text{e}^{-0,25x+6})\right)\left(-22,5  \text{e}^{-0,25x+6}\right)}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^4} \\


h''(x)=\dfrac{+5,625 \text{e}^{-0,25x+6} \left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right) -\left(-0,5\text{e}^{-0.25x+6}\right)\left(-22,5  \text{e}^{-0,25x+6}\right)}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^3} \\

h''(x)=\dfrac{+5,625 \text{e}^{-0,25x+6}+5,625\left(\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2-11,25  \left(\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^3} \\

h''(x)=\dfrac{+5,625 \text{e}^{-0,25x+6}-5,625\left(\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^3}

h''(x)=\dfrac{+5,625 \text{e}^{-0,25x+6}\left(1-5,625\left(\text{e}^{-0,25x+6}\right))}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^3}


J'ai dû faire une erreur de signe

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 18:11

Lire
h''(x)=\dfrac{+5,625  \text{e}^{-0,25x+6}\left(1-\left(\text{e}^{-0,25x+6}\right))}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^3}

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 18:27

Ok mercii beaucoup pour la question b) j'ai fais ça :
e^-0,25x+6   -1>0
-0,25x+6>0
-0,25x>-6
-0,25/-0,25x  <  -6/-0,25
x<24

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 18:36

Vérifiez, car je n'ai pas le même résultat
Oui  

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 18:39

Du coup  c'est bon ?

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 18:42

e^-0,25x+6   -1>0
-0,25x+6>1
-0,25x+6 > e0
-0,25x>-6
-0,25/-0,25x  <  -6/-0,25
x<24
J'ai rectifié

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 18:43

\text{e}^{-0,25x+6}-1>0 \iff x<24

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 18:47

Là, non  il manque les \text{e}^

e^{-0,25x+6}   -1>0
e^{-0,25x+6}>1
e^{-0,25x+6} > e^0
-0,25x>-6
-0,25/-0,25x  <  -6/-0,25 ligne peu utile
x<24

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 18:57

Ok merci on passe à la c) selon moi ,
h seconde 5,625e^-0,25x+6> 0 et 1+e^-0,25x+6>0
La fonction h est convexe sur l'intervalle [10;24] et concave sur l'intervalle [24;50].

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 19:13

b) vous avez oublié de conclure. \mathcal{S}=

h'' >0 pour h convexe
les autres termes étant positifs, somme de termes positifs, h'' est du signe de \text{e}^{-0,25x+6}-1

vu la question b, convexe sur [10~;~24]

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 19:15

La conclusion de la b) c'est : L'ensemble de solution de l'inéquation e^0,25x+6-1>0 dans l'intervalle [10,50] est S= {10;24}.

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 19:18

Non, puisque l'ensemble solution est un intervalle.

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 19:20

Ah c'est [10;24] ?

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 19:21

Non plus, car l'inégalité est stricte.

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 19:24

S= ]-;10[24;+[

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 19:35

Ah non la solution c'est S= x<24

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 19:39

  La valeur appartient à l'ensemble solution  crochet fermé

n'appartient pas crochet ouvert  

[10~;~24[

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 19:42

Ok merci beaucoup est ce que la c) c'est bon ?

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 20:09

Il me semble avoir répondu  19 :13

Dans mon calcul de h'' il doit y avoir une erreur de signe

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 20:24



\dès le début  h'(x)= \dfrac{22,5\times \text{e}^{-0.25x+6}}{(1+\text{e}^{-0.25x+6})^2} \\

h'(x)=\dfrac{+22,5\times( \text{e}^{-0,25x+6})}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2}

on pose u(x)=+22,5  \text{e}^{-0,25x+6}\quad u'(x)=-5,625 \text{e}^{-0,25x+6}

v(x)=\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2\qquad v'(x)=2(1+\text{e}^{-0,25 x+6})(-0,25\text{e}^{-0,25x+6})=-0,5\text{e}^{-0.25x+6}(1+\text{e}^{-0,25x+6})


h''(x)=\dfrac{-5,625 \text{e}^{-0,25x+6}\left( \left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2 \right)-\left(-0,5\text{e}^{-0.25x+6}(1+\text{e}^{-0,25x+6})\right)\left(22,5  \text{e}^{-0,25x+6}\right)}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^4} \\


h''(x)=\dfrac{-5,625 \text{e}^{-0,25x+6} \left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right) -\left(-0,5\text{e}^{-0.25x+6}\right)\left(+22,5  \text{e}^{-0,25x+6}\right)}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^3} \\

h''(x)=\dfrac{-5,625 \text{e}^{-0,25x+6}-5,625\left(\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2+11,25  \left(\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^3} \\

h''(x)=\dfrac{-5,625 \text{e}^{-0,25x+6}+5,625\left(\text{e}^{-0,25x+6}\right)^2}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^3}

h''(x)=\dfrac{5,625 \text{e}^{-0,25x+6}\left(-1+5,625\left(\text{e}^{-0,25x+6}\right))}{\left(1+\text{e}^{-0,25x+6}\right)^3}


  

Posté par
Mercatorre : Convexité 28-02-23 à 20:24

Ah oui h''(x) = 5,625e^-0,25x+6 ( e^-0,25x+6    -1) /(1+e^0,25x+6)^3
C'est à dire qu'on passer à la d)

Posté par
heklare : Convexité 28-02-23 à 20:46

question d

À partir de quand, la fonction dérivée décroît  ? autrement dit, Quand la fonction dérivée de la fonction dérivée est-elle négative  ?

e) h(x)=80

Posté par
Mercatorre : Convexité 01-03-23 à 08:59

Ok merci beaucoup

Posté par
heklare : Convexité 01-03-23 à 14:18

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