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Convexité de la fonction exponentielle

Posté par
Sulfurique 07-12-12 à 21:26

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour un exercice :

Citation :
Soit a et b deux réels distincts. L'objectif est de démontrer que, pour tout réel t appartenant à [0;1] :

e^{ta+(1-t)b} \le te^a + (1-t)e^b

On définit la fonction f sur [0;1] par :

f(t) = te^a + (1-t)e^b - e^{ta+(1-t)b}

1) Pour tout réel t appartenant à [0;1], calculer f'(t) et f''(t). en déduire le sens de variation de f' sur [0;1]


Je trouve :

f'(t) = e^a - e^b - [(a-b)e^{ta+(1-t)b}] \\ f''(t) = - (a-b)²e^{ta+(1-t)b} \le 0
d'où f' décroissante sur [0;1]

Citation :
2) Montrer que pour tout réel x non nul, e^x > 1 + x


On définit la fonction g sur R par :

g(x) = e^x - 1 - x \\ g'(x) = e^x - 1 \\ \\ g'(x) \le 0   sur   ] - \infty ;  0 ] \\ g'(x) \ge 0   sur   [ 0 ; + \infty] \\ \\ g(0) = 0  d'où  g(x) \ge 0  donc   e^x > 1 + x

Citation :
3. Montrer que f'(0) > 0 et que f'(1) < 0


f'(0) = e^a - e^b - (a-b)e^b \\ f'(0) = e^a - e^b - ae^b + be^b \\ f'(0) = e^b (-1 - a - b)e^a \\ \\ f'(1) = e^a - e^b - [(a-b)e^a] \\ f'(1) = e^a (1 - a - b) -e^b

Mais comment trouver le signe de (-1 - a - b) et (1 - a - b) sachant que a et b sont deux réels distincts et inconnus ?

Merci d'avance à la personne qui pourrait me donner quelques pistes

Posté par
Pierre_Dre : Convexité de la fonction exponentielle 08-12-12 à 00:14

Bonjour Sulfurique,

Tu as montré à la question précédente que  e^x > 1 + x , c'est sûrement pour t'en servir, après avoir corrigé tes fautes (de frappe ?) dans le calcul de f'(0) et f'(1)

Posté par
Sulfuriquere : Convexité de la fonction exponentielle 09-12-12 à 20:37

J'ai corrigé les expressions de f'(0) et f'(1) :

f'(0)= e^b (-1 - a + b )e^a \\ f'(1) = e^a ( 1 - a + b) -e^b

Est-ce correct ?

Pour la suite, je me suis donc aidée de la question précédente :

Pour f'(0), j'ai mis (a-b) en variable :

e^{a-b} > 1 + a - b

Or je cherche le signe de (- 1 - a + b), donc je multiplie chaque membre par -1 en changeant le signe de l'inéquation :

- e^{a-b} < - (1 + a - b) \\ d'où   0 < - 1 - a + b

Pour f'(1) :
e^{- a + b} > 1 - a + b \\ d'où   0 > 1 - a + b

or e^a > 0  et  e^b > 0 donc f'(0) > 0 et f'(1) < 0

Il y a une question suivante :

Citation :
4. On admet qu'il existe un unique réel c appartenant à l'intervalle [0;1} tel que f'(c) = 0
Dresser le tableau de variations de f sur [0;1] et conclure.


On sait que f' est décroissante sur [0;1] (d'après la question 1)
D'après la question 3, f'(x) > 0 sur [0;c] et f'(x) < 0 sur [c;1]
D'où f croissante sur [0;c] et f décroissante sur [c;1]

Et f(0) = 0 donc la fonction est négative. Or vu ce qu'on veut démontrer au départ, elle devrait être positive... J'ai du me tromper dans le sens de variation mais je ne vois pas où ?

Posté par
Pierre_Dre : Convexité de la fonction exponentielle 10-12-12 à 01:03

Tout ça est totalement confus, sans compter les fautes de frappe

\small f'(0)=e^a-e^b-(a-b)e^b\ =\ e^b[e^{a-b}-(1+a-b)]\ >\ 0 \text{  car  }e^{a-b}>1+(a-b)

... même genre de procédé pour f'(1)


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