Bonjour à tous !

    Je suis dans un situation plutôt difficile que je vais vous expliquer afin que vous compreniez mieux pourquoi j'aurai autant besoin d'aide.

    Je suis actuellement en Terminale ES et nous n'avons pas eu cours de maths depuis la rentrée scolaire, hormis une semaine où nous avons revu les suites. Cela fait donc environ 6 mois que je n'ai pas fait de maths et se remettre dans le bain n'est pas facile. Notre remplaçant est arrivé il y a quelques jours et nous avons commencé à travailler la convexité. Nous avons appris à repérer graphiquement si une fonction est convexe ou concave, puis il nous à donner un exercice. Nous n'avons aucune leçon, seulement la correction de cet exercice et il a décidé hier de que nous aurons contrôle demain. C'est donc en urgence que je poste de sujet et dans une incompréhension presque totale. Dans un premier temps je vais écrire l'énoncé de l'exercice puis la correction telle que donnée par le prof, enfin je ferai une plus ou moins petite liste de toutes les questions que je me pose. Je vous remercie d'avance pour toute aide que vous pourrez m'apporter.


Énoncé :
On considère la fonction f définie sur par f(x) = x² et (C) sa courbe réprésentative (voire image jointe).
Soit a

1) Donner l'équation de la tangente Ta à la courbe(C) au point d'abscisse a

2) Soit x ; M1 le point d'abscisse x sur la courbe (C) et M2 le point d'abscisse x sur la tangente Ta
Soit y1 l'ordonnée de M1 et y2 l'ordonnée de M2
Jusitifier que y1-y2 = x²-2ax+a²

3) On appelle g la fonction qui à x réel associe g(x) = x²-2ax+a²
Calculer g'(x) et étudier son signe. En déduire que g a un minimum que l'on déterminera
Justifier que g(x)0 pour tout x

4) Justifier que (C) est au dessus de sa tangente Ta

5)Justifier que f est une fonction convexe


Correction :

1) Méthode n°1 :
f(x) = x² → f'(x) = 2x
mx+p → m = f'(a) = 2a
L'équation de Ta est f'(a)x+p soit Ta(x) = 2ax+p
Nous connaissons le point (a;a²) qui appartient à Ta donc ya = 2a*x+p
<=>a² = 2a*a+p
<=>a²-2a²= p
<=>a²(1-2) = p
<=>-a² = p
L'équation de la tangente est donc 2ax-a²

Méthode n°2 :
y = f'(a)(x-a)+a²
y = 2 a(x-a)+a²
y = 2ax-2a²+a² = 2ax-a²

2) (x;y1) → M1(x;x²)
M2(x;y2) → M2(x;Ta(x))
Ta(x)=2ax-a²
y1-y2 = x²-2ax+a²        

3) g(x) = y1-y2 = x²-2ax+a²
Cette fonction étudie les positions relatives entre les point M1 et M2 en fonction de x
Étudions le signe de cette fonction
g'(x) = 2a-2a
Pour xa on a 2x2a c'est à dire 2x-2a0 [ donc g'(x)a pour xa ] OU [ et g'(x)0 ]
Pour xa on a 2x2a c'est à dire 2x-2a0 [ donc g'(x)a pour xa ] OU [ et g'(x)0 ]
Le signe de la dérivée de g est négatif pour tout x]-;a[ et positif pour x]a;+[
TABLEAU voir image jointe
g(x) a un minimum en a qui vaut 0, donc g(x) est positif.
Pour tout x, g(x)0

4) D'après 2) : y1-y2 = x²-2ax+a² donc y1-y20, c'est à dire y1y2
On en déduit que pour tout x, le point M1 d'abscisse x sur la courbe (C) a une ordonnée supérieure ou égale à celle du M2 d'abscisse x sur la tangente Ta
On en déduit que (C) est au dessus de sa tangente Ta

5) Le résultat de 4) est vrais pour tous a
Donc la courbe (C) est entièrement située au dessus de chacune de ses tangentes, c'est à dire la fonction f est convexe.


Mes questions :

→Tout d'abord, on peut voir que dans son corrigé le prof fait beaucoup d'affirmations. Comme par exemple dans le 1) "m = f'(a)", "y = f'(a)(x-a)+a²" ou tout le raisonnement du 3)"Pour xa on a 2x2a c'est à dire" et les "on en déduit" du 4).... etc.... (il y en a bien d'autres, des affirmations qui me semble sorties de nul part)
Est-ce que ce sont des définitions ou  des propriétés que l'on est censé connaitre ou c'est vraiment propre à l'exercice ? (je ne sais pas si je suis très claire, désolée)
Si ce sont des propriétés pouvez vous m'envoyer des liens vers des leçons qui les expliquent ?

→Dans le 1) "<=>a²-2a²= p
<=>a²(1-2) = p" d'où sort le (1-2) ?

→Pour la question 3) vous avez du remarquer que j'ai mis des phrases entre crochets avec un "OU" au milieu. En fait, on avait commencé la correction et le prof nous avait donné en correction ce qu'il y a dans les 1ers crochets. L'heure suivante il nous a donné ce qu'il y a dans les 2emes crochets. Quelle proposition est juste du coup ?

→Question 3). Vous pouvez voir un petit calcul pour trouver le =0 au milieu. Ce calcul sort d'où ?

Voici mes interrogations pour les questions 1, 2 et 3. Celles des questions 4 et 5 arriveront plus tard.


Je m'excuse de toutes les fautes que j'ai pu faire dans ce long sujet et de mon niveau qui doit vous sembler très bas.

Et surtout surtout surtout je vous remercie d'avoir pris le temps de tout lire, d'avoir essayer de me comprendre et de m'aider, car franchement je suis désemparée. Alors merci beaaaucoooup par avance !