Bonsoir, j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant:
Soit g la fonction définie sur R par g(x)= e-x+3x4.
1)Montrer que g est convexe sur R.
2)Déterminer une équation de la tangente en 0 à la courbe de g.
3) Soit f la fonction définie sur R par f(x)= e-x+3x4+x-1. Montrer la courbe de f est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.
Mes réponses :
g(x)= e-x+3x4
g'(x)=-e-x+12x3
g''(x)= e-x+ 36x2>0, alors g(x) est convexe sur R.
2) g'(0)= -1 et g(0)=1
Donc y= 1 (x-0) + (-1)
Alors y= x-1
3) f(x) = e-x+ 3x4+x-1
f'(x) = -e-x + 12x3+1
Alors f''(x) = e-x+ 36x2>0, alors f(x) est convexe.
f est convexe sur R, donc Cf est toujours situé au dessus de l'axe des abscisses donc f(x)0, donc e-x+3x4+x-10
Merci de justifier mes erreurs, bonne soirée
Salut,
Erreur sur l'équation de la tangente (formule à revoir !) et la justification du 3) est... folklorique !
Bonjour merci pour votre aide.
2) J'ai mis la bonne formule et je trouve y= -x+1
3) Par contre ici je ne sais pas comment justifier.Merci si vous me donnez une piste.
bonne journée
C'est assez subtil...
Une piste : tu as montré que f était convexe.
Traduction graphique : Cf est au dessus de ses tangentes.
En particulier, Cf est au dessus de sa tangente en 0.
Je te laisse poursuivre...
Bonjour merci pour votre réponse.
Voici ce que j'ai fais :
On sait que f''(x) = e-x + 36x2 >0, alors f(x) est convexe.
Calculons l'équation de la tangente en 0:
f(0) e-0+ (3*0)4 + 0 - 1 =0
f'(0)= -e-0+(12*0)3+1 =0
Donc y= 0 (x-0) +0
= 0
Donc f est concave sur R, donc Cf est située au dessus de chacune de ses tangentes, en particulier Cf est au-dessus de sa tangente en 0 où y=0. On en déduit donc que la courbe de f est toujours situé au-dessus de l'axe des abscisses .
C'est bon ?
Ca se tient, mais il y a plus court, en utilisant les résultats précédents.
Cela vient d'une erreur de ma part dans mon indication, que je reprends :
Bonsoir merci pour votre réponse, voici ce que j'ai fais pour la 2ème méthode :
Grâce à la 1 on sait que g(x) est convexe sur R, donc Cg est située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de sa tangente en 0.
Mais f(x) g(x) > 0
Donc on en déduit que f(x) est convexe sur R, donc Cf est située au dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de sa tangente en 0. On en déduit donc que la courbe de f est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses. C'est bon ?
Merci pour votre aide
Toujours pas.
Cadeau :
"Grâce à la 1 on sait que g(x) est convexe sur R, donc Cg est située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de sa tangente en 0. " : ça c'est OK.
Or g(x) = e-x+3x4 et T0 : y = -x+1.
Ainsi, Cg est au-dessus de T0 équivaut à : e-x+3x4 -x+1 , c'est à dire : e-x+3x4 -(-x+1) 0 ,
soit : e-x+3x4+x-1 0
petit tips: pour determiner si une fonction est convexe ou concave n'hésite pas à tracer ton tableau de variation après avoir recherché tes solutions. Tu pourras plus facilement déterminer une convexité ou une concavité
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