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Niveau terminale
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Convexité exercice

Posté par
Leoniedeville
23-11-20 à 21:01

Bonsoir, j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant:
Soit g la fonction définie sur R par g(x)= e-x+3x4.
1)Montrer que g est convexe sur R.
2)Déterminer une équation de la tangente en 0 à la courbe de g.
3) Soit f la fonction définie sur R par f(x)= e-x+3x4+x-1. Montrer la courbe de f est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.


Mes réponses :
g(x)= e-x+3x4
g'(x)=-e-x+12x3
g''(x)= e-x+ 36x2>0, alors g(x) est convexe sur R.

2) g'(0)= -1 et g(0)=1
Donc y= 1 (x-0) + (-1)
Alors y= x-1

3) f(x) = e-x+ 3x4+x-1
f'(x) = -e-x + 12x3+1
Alors f''(x) = e-x+ 36x2>0, alors f(x) est convexe.
f est convexe sur R, donc Cf est toujours situé au dessus de l'axe des abscisses donc f(x)0, donc e-x+3x4+x-10

Merci de justifier mes erreurs, bonne soirée

Posté par
Yzz
re : Convexité exercice 23-11-20 à 21:05

Salut,

Erreur sur l'équation de la tangente (formule à revoir !) et la justification du 3) est... folklorique !

Posté par
Leoniedeville
re : Convexité exercice 24-11-20 à 08:48

Bonjour merci pour votre aide.

2) J'ai mis la bonne formule et je trouve y= -x+1

3) Par contre ici je ne sais pas comment justifier.Merci si vous me donnez une piste.

bonne journée

Posté par
Yzz
re : Convexité exercice 24-11-20 à 19:11

C'est assez subtil...

Une piste : tu as montré que f était convexe.
Traduction graphique : Cf est au dessus de ses tangentes.
En particulier, Cf est au dessus de sa tangente en 0.
Je te laisse poursuivre...

Posté par
Leoniedeville
re : Convexité exercice 24-11-20 à 20:07

Bonjour merci pour votre réponse.

Voici ce que j'ai fais :

On sait que f''(x) = e-x + 36x2 >0, alors f(x) est convexe.

Calculons l'équation de la tangente en 0:
f(0) e-0+ (3*0)4 + 0 - 1 =0
f'(0)= -e-0+(12*0)3+1 =0
Donc y= 0 (x-0) +0
= 0


Donc f est concave sur R, donc Cf est située au dessus de chacune de ses tangentes, en particulier Cf est au-dessus de sa tangente en 0 où y=0. On en déduit donc que la courbe de f est toujours situé au-dessus de l'axe des abscisses .

C'est bon ?

Posté par
Yzz
re : Convexité exercice 24-11-20 à 21:45

Ca se tient, mais il y a plus court, en utilisant les résultats précédents.
Cela vient d'une erreur de ma part dans mon indication, que je reprends :

Citation :
C'est assez subtil...

Une piste : tu as montré que g était convexe.
Traduction graphique : Cg est au dessus de ses tangentes.
En particulier, Cg est au dessus de sa tangente en 0.
Je te laisse poursuivre...

Posté par
Leoniedeville
re : Convexité exercice 24-11-20 à 22:39

Bonsoir merci pour votre réponse, voici ce que j'ai fais pour la 2ème méthode :
Grâce à la 1 on sait que g(x) est convexe sur R, donc Cg est située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de sa tangente en 0.
Mais f(x) g(x) > 0

Donc on en déduit que f(x) est convexe sur R, donc Cf est située au dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de sa tangente en 0. On en déduit donc que la courbe de f est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.  C'est bon ?

Merci pour votre aide

Posté par
Yzz
re : Convexité exercice 25-11-20 à 06:09

Toujours pas.

Cadeau :
"Grâce à la 1 on sait que g(x) est convexe sur R, donc Cg est située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de sa tangente en 0. " : ça c'est OK.

Or g(x) = e-x+3x4 et T0 : y = -x+1.

Ainsi, Cg est  au-dessus de T0 équivaut à :   e-x+3x4 -x+1  ,  c'est à dire : e-x+3x4 -(-x+1) 0 ,  
soit : e-x+3x4+x-1 0

Posté par
Leoniedeville
re : Convexité exercice 25-11-20 à 22:18

D'accord, merci pour votre aide.
Bonne soirée

Posté par
Yzz
re : Convexité exercice 26-11-20 à 06:36

Posté par
lisaaaaa23
re : Convexité exercice 26-11-20 à 22:53

petit tips: pour determiner si une fonction est convexe ou concave n'hésite pas à tracer ton tableau de variation après avoir recherché tes solutions. Tu pourras plus facilement déterminer une convexité ou une concavité

Posté par
Yzz
re : Convexité exercice 27-11-20 à 06:39

Le tableau de variation d'une fonction ne donne pas la convexité / concavité d'une fonction.



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